Rešenja zadataka iz prethodne dve lekcije - P i V valjka
Prvo zadatak koji sam vam ja bila zadala na prvim vežbama:
1. Pop = ?, Pv = ?, r = 5,2 dm, H = 0,8 m, Vv = ? u litrama
r = 5,2 dm, H = 8 dm Pretvaram sve u iste jedinice, u ovom slučaju decimetre jer ću kasnije računati i zapreminu u litrama a znam da je 1 l = 1 dm³.
Pop = 2r ∙ H Pv = 2B + M Vv = B ∙ H
Pop = 2 ∙ 5,2 ∙ 8 Pv = 2r²𝜋 + 2r𝜋 ∙ H Vv = r²𝜋 ∙ H
Pop = 10,4 ∙ 8 Pv = 2 ∙ 5,2² ∙ 𝜋 + 10,4 ∙ 8𝜋 Vv = 27,04 ∙ 8𝜋
Pop = 83,2 dm² Pv = 2 ∙ 27,04𝜋 + 83,2𝜋 Vv = 216,32𝜋 dm³
Pv = 137,28𝜋 dm² Vv = 216,32𝜋 l
12. b) / 119. d = 10 cm - omotača valjka koji je kvadrat. Pv = ?, Vv = ?
Stranica kvadrata kada je zadata dijagonala: a = d√2/2, dakle, naša stranica je ovde a = 5√2 cm.
Kako su stranice razvijenog omotača H i 2r𝜋, zaključujemo:
15. b) / 119. a = 6 cm, d = 10 cm rotira oko duže stranice. Pv = ?, Vv = ?
Pravougaonik: d² = a² + b²
10² = 6² + b²
b² = 100 - 36 = 64
b = 8 cm
Pravougaonik rotira oko duže stranice dužine 8 cm: H = 8 cm, r = 6 cm, lako ćete izračunati P i V valjka.
16. b) / 119. r = 4 cm, ugao između Dop i osnove je 45°
Ako je ugao između dijagonale osnog preseka i osnove 45°, to znači da ta dijagonala deli osni presek na dva pravougla jednakokraka trougla sa uglovima 45°, 45° i 90°, čiji su kraci 2r i H jednaki i iznose 8 cm. Na osnovu ovoga se lako računa P i V valjka po formuli.
16. v) / 119. r = 4 cm, ugao između Dop i osnove je 30°
Nacrtajte osni presek i uglove, videćete da ste dobili pravougli trougao sa uglovima 30°, 60° i 90°. Kako je ugao od 30° naspram visine H, ona će biti jednaka polovini hipotenuze Dop, H = Dop/2 tj. možemo napisati i da je Dop = 2H. Raspisivanjem Pitagorine teoreme zaključujemo:
Dop² = (2r)² + H²
(2H)² = 4r² + H²
4H² = 4 ∙ 4² + H²
3H² = 64
H² = 64/3
H = 8 / √3, racionalisanjem datog izraza dobijamo da je H = 8√3/3
Sada ćemo uraditi i zadatke od prošlog domaćeg:
1. Pop = ?, Pv = ?, r = 5,2 dm, H = 0,8 m, Vv = ? u litrama
r = 5,2 dm, H = 8 dm Pretvaram sve u iste jedinice, u ovom slučaju decimetre jer ću kasnije računati i zapreminu u litrama a znam da je 1 l = 1 dm³.
Pop = 2r ∙ H Pv = 2B + M Vv = B ∙ H
Pop = 2 ∙ 5,2 ∙ 8 Pv = 2r²𝜋 + 2r𝜋 ∙ H Vv = r²𝜋 ∙ H
Pop = 10,4 ∙ 8 Pv = 2 ∙ 5,2² ∙ 𝜋 + 10,4 ∙ 8𝜋 Vv = 27,04 ∙ 8𝜋
Pop = 83,2 dm² Pv = 2 ∙ 27,04𝜋 + 83,2𝜋 Vv = 216,32𝜋 dm³
Pv = 137,28𝜋 dm² Vv = 216,32𝜋 l
12. b) / 119. d = 10 cm - omotača valjka koji je kvadrat. Pv = ?, Vv = ?
Stranica kvadrata kada je zadata dijagonala: a = d√2/2, dakle, naša stranica je ovde a = 5√2 cm.
Kako su stranice razvijenog omotača H i 2r𝜋, zaključujemo:
Pravougaonik: d² = a² + b²
10² = 6² + b²
b² = 100 - 36 = 64
b = 8 cm
Pravougaonik rotira oko duže stranice dužine 8 cm: H = 8 cm, r = 6 cm, lako ćete izračunati P i V valjka.
16. b) / 119. r = 4 cm, ugao između Dop i osnove je 45°
Ako je ugao između dijagonale osnog preseka i osnove 45°, to znači da ta dijagonala deli osni presek na dva pravougla jednakokraka trougla sa uglovima 45°, 45° i 90°, čiji su kraci 2r i H jednaki i iznose 8 cm. Na osnovu ovoga se lako računa P i V valjka po formuli.
16. v) / 119. r = 4 cm, ugao između Dop i osnove je 30°
Nacrtajte osni presek i uglove, videćete da ste dobili pravougli trougao sa uglovima 30°, 60° i 90°. Kako je ugao od 30° naspram visine H, ona će biti jednaka polovini hipotenuze Dop, H = Dop/2 tj. možemo napisati i da je Dop = 2H. Raspisivanjem Pitagorine teoreme zaključujemo:
Dop² = (2r)² + H²
(2H)² = 4r² + H²
4H² = 4 ∙ 4² + H²
3H² = 64
H² = 64/3
H = 8 / √3, racionalisanjem datog izraza dobijamo da je H = 8√3/3
Sada ćemo uraditi i zadatke od prošlog domaćeg:
1. Odrediti zapreminu valjka čija je površina 252𝜋 cm² a površina osnove 54𝜋 cm².
P = 2B + M
252𝜋 = 2 ∙ 54𝜋 + M
M = 252𝜋 - 108𝜋 = 144𝜋 cm²
Iz B zaključujemo da je r = √54 = 3√6 cm, a kako je M = 2r𝜋 ∙ H, odatle ćemo odrediti H:
144𝜋 = 6√6 ∙ 𝜋 ∙ H
H = 144 : (6√6) = 4√6 cm (jer je 24 : √6 = (4 ∙ √6 ∙ √6) : √6 = 4√6)
Sada je lako V = B ∙ H = 54𝜋 ∙ 4√6 = 216√6𝜋 cm³
P = 2B + M
252𝜋 = 2 ∙ 54𝜋 + M
M = 252𝜋 - 108𝜋 = 144𝜋 cm²
Iz B zaključujemo da je r = √54 = 3√6 cm, a kako je M = 2r𝜋 ∙ H, odatle ćemo odrediti H:
144𝜋 = 6√6 ∙ 𝜋 ∙ H
H = 144 : (6√6) = 4√6 cm (jer je 24 : √6 = (4 ∙ √6 ∙ √6) : √6 = 4√6)
Sada je lako V = B ∙ H = 54𝜋 ∙ 4√6 = 216√6𝜋 cm³
2. Neka je poluprečnik osnove valjka dužine 2,5 cm. Ako je dijagonala osnog preseka za 1 cm duža od visine valjka, odredi mu površinu i zapreminu.
Dop² = (2r)² + H²
(H + 1)² = 5² + H²
H² + 2H + 1 = 25 + H² / - H²
2H + 1 = 25
2H = 24
H = 12 cm
Pv = 72,5𝜋 cm², Vv = 75𝜋 cm³
Dop² = (2r)² + H²
(H + 1)² = 5² + H²
H² + 2H + 1 = 25 + H² / - H²
2H + 1 = 25
2H = 24
H = 12 cm
Pv = 72,5𝜋 cm², Vv = 75𝜋 cm³
3. Izračunaj površinu valjka čija je zapremina 96𝜋 cm³ a poluprečnik osnove i visina se odnose kao 2 : 3.
Comments
Post a Comment