Obrnuto proporcionalne veličine

Odgledajte video lekciju, pomoći će vam.

Videli smo prošli put kada su nam dve veličine direktno proporcionalne: kada je njihov količnik (odnos k = y/x) stalan. Danas ćemo da naučimo kada su veličine obrnuto proporcionalne.

Direktno proporcionalne veličine su nam bile pređeni put s i vreme t za ravnomerno kretanje na primer brzinom od 8km/h kao što ste imali za domaći. Kako ste crtali tada grafik zavisnosti? Uz pomoć tabele, recimo ovakve:

Naravno, kako raste vreme t ↗ (od 1 do 4), tako raste i pređeni put s ↗ (od 8 ka 32) jer je s = v ∙ t = 8 ∙ t.

Hajde da vidimo šta se dešava sa brzinom v i vremenom t, u kakvom su one odnosu.

Primer Treba da pređemo put od 24 km. Na koje sve načine to možemo da uradimo?

v = s/t,   s = 24 km    →    v = 24/t    odnosno    v ∙ t = 24

Ako bismo želeli taj put da pređemo za 1 sat, kretali bismo se brzinom od 24 km/h; za 2 sata bi brzina morala biti duplo manja, jer se duže krećemo, 12 km/h; za više, 3 sata, još manja brzina 8 km/h...

Primećujemo da ovde nemamo stalan količnik veličina već njihov proizvod (24 = 24 ∙ 1 = 12 ∙ 2 = 8 ∙ 3 = 6 ∙ 4) i još, da kako jedna veličina raste, druga se smanjuje, što je i prirodno, zbog stalnosti proizvoda. Ovakve veličine ćemo nazivati obrnuto proporcionalnim.

Dve veličine su obrnuto proporcionalne ako su proizvodi svake dve odgovarajuće vrednosti tih veličina međusobno jednaki tj. ako postoji konstantan broj k, tako da važi x ∙ y = k za svaki par x i y.

k ≠ 0  ⇒ x ≠ 0, y ≠ 0

Kod obrnute proporcionalnosti, ako jedna veličina raste x ↗, druga se smanjuje y ↘ (zato se i naziva obrnuta; brže se krećemo ↗,  manje nam vremena treba↘).

Dakle, naša zavisnost brzine v, od vremena t je obrnuta, formulom: v = 24/t, koeficijent proporcionalnosti je u ovom slučaju k = 24 (put s), tabelu smo nacrtali, sad još samo da vidimo kako bi izgledao grafik zavisnosti.

Grafik zavisnosti nije prava i obično ga nećemo crtati. 

Uradićemo par jednostavnih zadataka iz vaše zbirke sa strane 107. i 108.

1. Popuni tabelu ako su veličine x i y obrnuto proporcionalne i k = 12.

Kako su veličine obrnuto proporcionalne sa k = 12, možemo koristiti 12 = x ∙ y ili y = 12/x, šta vam je lakše. U ovom slučaju, možemo i drugu formulu jer vam se baš traži y:

2. Odredimo k iz tabele u zadatku.

Ovde je najlakše da koristimo oblik k = x ∙ y i proveravamo da li je za sve kolone k isto.

k = 1 ∙ 5 = 2,5 ∙ 2 = 10 ∙ 0,5 = 5 ∙ 1 = 6,25 ∙ 0,8 = 5

Složićemo se da jeste i da je k = 5. Zavisnost je y = 5/x.

4. Ako su x i y obrnuto proporcionalne veličine, odredi koeficijent obrnute proporcionalnosti, popuni tabele i nacrtaj grafik zavisnosti:

Kao i kod direktne proporcionalnosti, naravno da k određujemo iz jedine potpune kolone (1, 6).

k = 1 ∙ 6 = 6

zavisnost: y = 6/x

Računamo nepoznate podatke iz tabele:

y₁ = 6/2 = 3,     y₂ = 6/0,5 = 12,    x₃ = 6/1 = 6,   x₄ = 6/2 = 3,   y₅ = 6/12 = 1/2 = 0,5

Grafik zavisnosti:

7. Površina pravougaonika je 20 cm². Izrazi zavisnost dužine pravougaonika (a) od širine (b).

P = a ∙ b

20 = a ∙ b

Zavisnost a od b:  a = 20/b

Ovo je očigledno obrnuta proporcionalnost sa k = 20.

Domaći zadatak: strana 108. zadaci: 3, 4. b), 6, 8, 9, 10, 11. Zadaci su kratki. U zadacima u kojima piše da nacrtate grafik, ne morate, nacrtali smo već dva, dovoljno je.