Mreža i površina valjka

Videli ste već kako se crta mreža valjka i kako glasi formula za njegovu površinu u video lekciji, sad ćemo to da ponovimo.

Kada biste želeli da napravite valjak, na papiru biste morali da nacrtate dva podudarna kruga i jedan pravougaonik koji će biti omotač i to bi izgledalo ovako:

Kako se ova mreža lepo može sklopiti kao valjak pogledajte na ovom linku gde pomeranjem klizača sastavljate vaš valjak.

Znamo da sa mreže nekog geometrijskog tela najlakše možemo da vidimo kako bismo mogli da izračunamo površinu tog tela.

Složićemo se da će osnovna formula za površinu valjka biti ista kao i za površinu prizme i to je:

P = 2B + M

gde je B površina baze odnosno ovde kruga a M površina omotača valjka.

Znamo formulu za izračunavanje površine kruga pa je zato B = r²𝜋, gde je r poluprečnik kruga osnove. Problem nam pravi omotač ali ako gledamo narednu sliku, shvatićemo kako glasi formula i zašto.

Kako je naš omotač valjka oblika pravougaonika, da bismo odredili njegovu površinu treba da pomnožimo dužine njegovih susednih stranica. Ako razmišljamo o tome kako bismo sastavili naš valjak ili ako posmatramo animaciju sa prethodnog linka, videćemo da je jedna stranica našeg pravougaonika upravo visina valjka H, dok će druga stranica biti ova duža koju biste lepili na obod kruga. 

Koje onda dužine ona mora biti? Iste dužine kao i obod kruga, tj. dužine obima kruga 2r𝜋.

Predlažem da kao i do sada formule ne učite napamet već u svakom zadatku skicirajte valjak, obeležite šta vam je dato i polako ponavljajući ovaj postupak izvedete formulu i rešavate zadatak.

Na času smo uradili zadatak 5. sa strane 117. kao i 6. i 7.

5.  P = ?

a)  r = 4 cm,   H = 7 cm

P = 2B + M

P = 2r²𝜋 + 2r𝜋H

P = 2·4²𝜋 + 2⋅4𝜋⋅7

P = 2⋅16𝜋 + 8𝜋 ⋅ 7

P = 32𝜋 + 56𝜋

P = 88𝜋 cm²

b) prečnik = 5 cm,  H = 2 cm

U ovom zadatku obratiti pažnju na to što vam je zadat prečnik, 2r, a ne poluprečnik, r. Tu se najčešće greši. Dakle, kako je 

2r = 5 cm,     tada je      r = 2,5 cm

Dalje, kada taj podatak ubacujemo u formulu za površinu, obratimo posebno pažnju na to gde možete da ubacujete 2r a gde r, jer nije isto 2r² i (2r)²!

2r² ≠ (2r)²

P = 2B + M

P = 2r²𝜋 + 2r𝜋H

P = 2·2,5²𝜋 + 2⋅2,5𝜋 ⋅ 2       ili odmah     P = 2·2,5²𝜋 + 5𝜋⋅2    jer znamo da je 2r = 5

P = 2⋅6,25𝜋 + 5𝜋 ⋅ 2

P = 12,5𝜋 + 10𝜋

P = 22,5𝜋 cm²

6.   H = 6 cm,    P = ?

a) poluprečnik je dva puta veći od visine:      r = 2H,       r = 2 ⋅ 6 = 12 cm

I sada je lako:

P = 2B + M

P = 2r²𝜋 + 2r𝜋H

P = 2 · 12²𝜋 + 2 ⋅ 12𝜋 ⋅ 6

P = 2 ⋅ 144𝜋 + 24𝜋 ⋅ 6

P = 288𝜋 + 144𝜋

P = 432𝜋 cm²

b) poluprečnik je za dva manji od visine:    r = H - 2,     r = 6 - 2 = 4 cm

P = 2B + M

P = 2r²𝜋 + 2r𝜋H

P = 2·4²𝜋 + 2⋅4𝜋⋅6

P = 2⋅16𝜋 + 8𝜋 ⋅ 6

P = 32𝜋 + 48𝜋

P = 80𝜋 cm²

7. Obim osnove valjka je 12𝜋 cm:    O = 12𝜋 cm

    H = 4 cm

    P = ?

U osnovi valjka je krug pa se obim osnove računa po formuli za obim kruga:

O = 2r𝜋

2r𝜋 = 12𝜋    /: 𝜋

2r = 12        /: 2

r = 6 cm

P = 2B + M

P = 2r²𝜋 + 2r𝜋H

P = 2 · 6²𝜋 + 12𝜋 ⋅ 4

P = 2 ⋅ 36𝜋 + 48𝜋

P = 72𝜋 + 48𝜋

P = 120𝜋 cm²

A za domaći uradite iz vaše školske zbirke sa strane 117. 3. i 4, a sa strane 118.: 8, 9, 10. i 11.