Rastojanje između dve tačke i sredina duži u koordinatnom sistemu

Ne bi bilo loše da odgledate video lekciju nastavnice Vesne u kojoj je obrađena naša današnja tema, možda će vam pomoći da bolje razumete. U prvih 10 minuta se obnavlja gradivo a zatim se prelazi na novo.

Složićemo se da nije dovoljno da neke objekte samo predstavljamo na karti i da zatim ništa više ne radimo sa njima, već je dobro znati za početak i kako možemo na jednostavan način, računski, da određujemo njihova rastojanja, površine nekih oblasti, a sve nam to olakšava "mreža" koju kod nas predstavlja koordinatni sistem. Danas ćemo naučiti kako da određujemo rastojanje neke tačke od koordinatnog početka, rastojanje dve proizvoljne tačke tj. dužinu neke duži i koordinate tačke koja predstavlja središte neke duži.

• Rastojanje tačke od koordinatnog početka

Izabraću proizvoljnu tačku u prvom kvadrantu samo zbog lakšeg predstavljanja, naravno da će ovo što zaključimo i formula do koje dođemo važiti za sve tačke, iz bilo kog kvadranta. Dakle, neka je moja tačka A sa koordinatama (xₐ, yₐ). Želim da odredim njeno rastojanje od koordinatnog početka O(0, 0), tj. dužinu duži OA:

                                  

Ako spustim normale od tačke A ka osama i obeležim njene koordinate, uočavam da sam formirala pravougli trougao sa katetama dužine xₐ i yₐ i hipotenuzom OA koju ću i odrediti korišćenjem Pitagorine teoreme:

Dakle, za udaljenost tačke od koordinatnog početka korisitm sledeću formulu:

Primer

zbirka, zadatak 5. a)/102. strana

Rastojanje tačke M(5, -12) od koordinatnog početka O je:

• Rastojanje između dve proizvoljne tačke

Ponovo biramo tačke iz prvog kvadranta, A(xₐ, yₐ) i B(xᵦ, yᵦ) (iz nekog razloga, ovde u programu ne mogu lepo da napišem u indeksu A i B, pa koristim malo a i beta, vi pišite A i B; te oznake su praktične i koristimo ih da bismo se lakše snalazili, da znate od koje tačke treba da uzmete x i y koordinatu). Naravno, u opštem slučaju su one najčešće ovako raspoređene, pod nekim uglom su jedna u odnosu na drugu, a mi ćemo kasnije pokazati i najlakše primere, kada čine duž paralelnu nekoj od osa. I jednoj i drugoj spustimo normale ka osama i označimo brojeve koji bi odgovarali njihovim koordinatama. Cilj je da odredimo dužinu duži AB.

Uočavamo kao i u prethodnom slučaju pravougli trougao na koji ćemo da primenimo Pitagorinu teoremu. Hipotenuza je baš dužina duži AB koju tražimo, dok su katete razlika između x koordinata ove dve tačke i razlika između y koordinata ovih tačaka:

Na taj način dolazimo do formule:

Dakle, oduzmete x koordinate krajnje tačke i početne tačke, kvadrirate, oduzmete y koordinate krajnje i početne tačke i njih kvadrirate, saberete i odredite koren iz tog broja.

Primer
zbirka, zadatak 4./strana 102.

a) A(2, 3), B (5,7), AB = ?
Korišćenjem formule i jednostavnim računom utvrđujemo da je:

d) A(-8, 5), B(7, -3), AB = ?

U ovom primeru imamo negativne brojeve i samo treba pažljivo da ih uvrštavate u formulu vodeći računa o tome da ćete negde imati dva minusa i moraćete da stavljate dodatne zagrade:

Ovi negativni brojevi ne treba da vas plaše, samo budite pažljivi. A i kako znamo da rastojanje ne može biti negativno, to nema smisla, nikada ne možete dobiti da "vadite" koren iz negativnog broja i za to su se postarali kvadrati u formuli. Da biste videli kako nije greska ni kada biste od koordinata tačke A oduzimali koordinate tačke B, to sam vam pokazala u narednom redu sa istim brojevima, iste tačke su u pitanju:

Zašto je to tako? Zbog navedene osobine kvadrata razlike.

Primer

Sada ćemo da vidimo slučaj kada su tačke paralelne nekoj od osa. Da bismo to uradili, otvorite vaše zbirke na strani 102. i posmatrajte prvi zadatak.
Da li možete da odredite koordinate tačaka i dužine ovih duži? Kladim se da to možete vrlo jednostavno da uradite, korišćenjem osa kao lenjira i prebrojavanjem koliko svaka od ovih duži sadrži jediničnih duži u sebi.
Hajdemo prvo da uradimo to računski na primeru duži EF koja je paralelna x - osi.

Vidimo da su y koordinate ovih tačaka jednake jer je duž paralelna sa x - osom pa je dovoljno da samo oduzmemo njihove x koordinate ali, naravno, stavljamo ih u apsolutne zagrade da bi rezultat bio pozitivan. Naravno, možete da koristite i formulu sa korenom koju smo izveli i videćete da ćete dobiti isti rezultat a u zagradi na slici vam je i napisan još jedan od razloga zašto imamo te apsolutne zagrade: zbog osobina korenovanja i kvadriranja.
Na sličan način radimo i za duž PQ koja je paralelna  sa y - osom:

Ako smo ovo razumeli, prelazimo na određivanje koordinata središta duži.

• Središte duži

Interesuju nas koordinate tačke S koja je tačno na sredini između nekih tačaka A i B, koja je jednako udaljena od obe. Vrednost njenih koordinata će onda i biti brojevi koji se nalaze tačno između brojeva koji predstavljaju koordinate tačaka A i B. Pokazujemo to na primerima kada je prvo AB paralelna sa osama.

1) AB paralelna sa x - osom

To znači da su obema tačkama y koordinate jednake pa ćemo pisati samo y na primer.

Kako vidimo, treba nam samo aritmetička sredina (prosek) vrednosti x koordinata i to će biti vrednost x koordinate središta duži, a y koordinata je jednaka y koordinatama tačaka A i B. Zašto aritmetička sredina? Evo primera:

A(3, 8), B(5, 8), S = ?

(3 + 5) : 2 = 4 i to je upravo broj koji je na jednakom rastojanju od 3 i 5, zato je S(4, 8).

Istu logiku koristimo i kada je AB paralelna sa y- osom i u opštem slučaju, kada nije paralelna ni sa jednom osom.

2) AB paralelna sa y - osom

3) nema paralelnosti sa osama

Kako da znate da sigurno nećete pogrešiti kada određujete rastojanje između tačaka ili središte duži? Uvek možete koristiti formule za opšte slučajeve, koje, naravno, važe onda i za one specijalne, a to su:

Domaći zadatak: da biste ovo provežbali i shvatili, pokušajte da uradite sami sledeće zadatke iz vaše zbirke sa strane 102: 2, ostale primere u zadatku 4, 5. b) i 8. a), v).

U drugom i četvrtom zadatku odredite i koordinate središta svake od duži, a u osmom zadatku ćete, naravno, obim trougla izračunati tako što ćete odrediti dužine sve tri duži AB, BC i AC i sabrati njihove dužine.