Grafički prikaz zavisnih veličina
Obavezno odgledajte video lekciju koja se bavi ovom temom a mi ćemo je još malo razraditi.
U prirodi a i u društvu postoji mnogo veličina koje zavise jedna od druge, tj. sve se odvija po nekim zakonima i za sve postoji uzrok. Na šta tačno mislim i šta nas konkretno zanima? Na primer, pređeni put zavisi od brzine kretanja, koliko će bačena loptica odskočiti zavisi od elastičnosti materijala, visina biljke zavisi od količine svetlosti koju dobija, dobit zavisi od količine uloženog novca, gustina saobraćaja zavisi od doba dana... Sve ove veličine se mogu meriti i njihovi brojčani podaci se mogu prikazati tabelarno i najčešće se i ove zavisnosti mogu grafički predstaviti različitim grafikonima a većina grafikona je neka vrsta koordinatnog sistema. Šta nam je bitno? Koju veličinu posmatram a od koje druge veličine ona zavisi. Ta veličina koja me interesuje, koja zavisi od neke druge, se naziva zavisnom veličinom a ona u odnosu na koju je posmatram nazivam nezavisnom veličinom. Obično se koriste oznake x i y, ako veličine nemaju svoje oznake, i uvek je x nezavisna veličina, a y je zavisna veličina ili promenljiva.
x - nezavisna promenljiva
y - zavisna promenljiva
Jedna od zavisnosti u prirodi je zavisnost mase od zapremine tela i to ćemo pokazati u narednom primeru.
Primer
Zamislimo da imamo tri staklene kocke različitih veličina. Prva neka bude zapremine 1 dm³, druga 3 dm³, a treća recimo 5 dm³. Dimenzije kocaka tj. njihove zapremine sam birala i zato je zapremina nezavisna veličina. Mene zanima sad njihova masa. Da li sad i masu ovih kocaka mogu da biram proizvoljno? Pa baš i ne mogu. Ako sam već odabrala kocke određenih dimenzija, masu mogu samo da utvrdim sad kolika je. Znam da staklo kao i svaka druga materija ima svoju gustinu i pronašla sam da je ona 2,5 kg/dm³. Ako nismo sigurni (a trebali bismo to da znamo) merna jedinica će nam reći kako se gustina računa i formula je: ρ = m/V. Na osnovu ovoga zaključujem da ću masu računati:
m = ρ ∙ V odnosno, za naše staklene kocke je m = 2,5 ∙ V
Pošto mi masa, m, zavisi od zapremine, V, na ovaj način, masa nam je zavisna veličina i možemo sad da je izračunamo za svaku kocku uz pomoć utvrđenog pravila tj. formule.
V₁ = 1 dm³ ⇒ m₁ = 2,5 kg/dm³ ∙ 1 dm³ = 2,5 kg
V₂ = 3 dm³ ⇒ m₂ = 2,5 kg/dm³ ∙ 3 dm³ = 7,5 kg
V₃ = 5 dm³ ⇒ m₃ = 2,5 kg/dm³ ∙ 5 dm³ = 12,5 kg
Podatke obično predstavljamo i tabelarno gde se u prvoj vrsti navodi nezavisna promenljiva a u drugoj zavisna promenljiva. Isto tako ste navikli u fizici da su bitne i merne jedinice jer inače informacija nije potpuna i one se pišu u uglastim zagradama.
Do sad smo izabrali vrednosti za nezavisnu promenljivu V, odredili zavisnost mase m od zapremine V: m = 2,5 ∙ V, izračunali vrednosti za m i upisali podatke u tabelu. Ostaje nam još da nacrtamo grafik zavisnosti mase od zapremine.
Kako ćemo to uraditi?
Kako su nam sve vrednosti pozitivne, podatke ćemo ucrtavati samo u prvi kvadrant. Vrednosti nezavisne promenljive nanosimo na x - osu, vrednosti zavisne promenljive na y - osu, zajedno sa njihovim oznakama i mernim jedinicama na krajevima osa. Iz naše tabele vidimo da imamo da ucrtamo samo tri tačke za tri kocke, tako što nam je prva koordinata uvek nezavisna promenljiva a druga koordinata zavisna promenljiva i u našem slučaju su to tačke A(1; 2,5), B(3; 7,5) i C(5; 12,5). Kad god imam da su mi koordinate decimalni brojevi, da ne bi dolazilo do zabune, za odvajanje koordinata koristim ;.
Grafik zavisnosti mase od zapremine:
Kroz sve tri tačke sam povukla pravu koja je u stvari taj grafik zavisnosti i ona je korisna iz više razloga. Prvo, svakoj tački te prave odgovara jedna staklena kocka za koju mi nismo računali masu niti sam birala njenu zapreminu ali mogu da pročitam za svaku tačku njene koordinate i da znam njene osobine. Na primer, vrlo se lepo vidi da će kocka zapremine 4 dm³ imati masu 10 kg a čak mogu i obrnuto, ako me zanima zapremina kocke od 12 kg mogu da napravim možda dovoljno dobru procenu spuštanjem normale ka x - osi od tačke koja se nalazi na pravoj a na "visini" 12 kg je, vidim da bi njena zapremina bila nešto malo manja od 5 dm³ (izračunavanjem dobijamo 4,8 dm³).
Druga bitna stvar ovde bi bila ta što vidim da ako nemam zapreminu (V = 0), nemam ni masu kocke (m = 0), tj. ovaj grafik nam prolazi kroz koordinatni početak, što i ima smisla.
Treća stvar koja će nam biti kasnije važna je da primetimo pravac našeg grafika, da on prolazi kroz prvi i treći kvadrant i da nam to govori da kako povećavamo zapreminu, V↗, da nam tako raste i masa, m↗.
m = ρ ∙ V odnosno, za naše staklene kocke je m = 2,5 ∙ V
Pošto mi masa, m, zavisi od zapremine, V, na ovaj način, masa nam je zavisna veličina i možemo sad da je izračunamo za svaku kocku uz pomoć utvrđenog pravila tj. formule.
V₁ = 1 dm³ ⇒ m₁ = 2,5 kg/dm³ ∙ 1 dm³ = 2,5 kg
V₂ = 3 dm³ ⇒ m₂ = 2,5 kg/dm³ ∙ 3 dm³ = 7,5 kg
V₃ = 5 dm³ ⇒ m₃ = 2,5 kg/dm³ ∙ 5 dm³ = 12,5 kg
Do sad smo izabrali vrednosti za nezavisnu promenljivu V, odredili zavisnost mase m od zapremine V: m = 2,5 ∙ V, izračunali vrednosti za m i upisali podatke u tabelu. Ostaje nam još da nacrtamo grafik zavisnosti mase od zapremine.
Kako ćemo to uraditi?
Kako su nam sve vrednosti pozitivne, podatke ćemo ucrtavati samo u prvi kvadrant. Vrednosti nezavisne promenljive nanosimo na x - osu, vrednosti zavisne promenljive na y - osu, zajedno sa njihovim oznakama i mernim jedinicama na krajevima osa. Iz naše tabele vidimo da imamo da ucrtamo samo tri tačke za tri kocke, tako što nam je prva koordinata uvek nezavisna promenljiva a druga koordinata zavisna promenljiva i u našem slučaju su to tačke A(1; 2,5), B(3; 7,5) i C(5; 12,5). Kad god imam da su mi koordinate decimalni brojevi, da ne bi dolazilo do zabune, za odvajanje koordinata koristim ;.
Grafik zavisnosti mase od zapremine:
Kroz sve tri tačke sam povukla pravu koja je u stvari taj grafik zavisnosti i ona je korisna iz više razloga. Prvo, svakoj tački te prave odgovara jedna staklena kocka za koju mi nismo računali masu niti sam birala njenu zapreminu ali mogu da pročitam za svaku tačku njene koordinate i da znam njene osobine. Na primer, vrlo se lepo vidi da će kocka zapremine 4 dm³ imati masu 10 kg a čak mogu i obrnuto, ako me zanima zapremina kocke od 12 kg mogu da napravim možda dovoljno dobru procenu spuštanjem normale ka x - osi od tačke koja se nalazi na pravoj a na "visini" 12 kg je, vidim da bi njena zapremina bila nešto malo manja od 5 dm³ (izračunavanjem dobijamo 4,8 dm³).
Druga bitna stvar ovde bi bila ta što vidim da ako nemam zapreminu (V = 0), nemam ni masu kocke (m = 0), tj. ovaj grafik nam prolazi kroz koordinatni početak, što i ima smisla.
Treća stvar koja će nam biti kasnije važna je da primetimo pravac našeg grafika, da on prolazi kroz prvi i treći kvadrant i da nam to govori da kako povećavamo zapreminu, V↗, da nam tako raste i masa, m↗.
Primer
Uradićemo još ovaj primer iz vaše zbirke gde vam je zadata zavisnost y = -2x + 1 i vrednosti nezavisne promenljive x ∈ {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}. Popunićemo tabelu računanjem vrednosti za y i nacrtati ovaj grafik zavisnosti.
Domaći zadatak: školska zbirka, strana 103. zadatak 2, da malo čitate i analizirate grafikon: zadatak 5. sa strane 104. i sa iste strane još: malo fizike 7, 9. i 10. u kojem prilikom crtanja uzimate da je √2 ≈ 1,41.
Comments
Post a Comment