Kupa - pojam, nastanak, elementi

Odgledajte još jednom video lekciju koja se tiče današnje naše teme. Video lekcija sa ponavljanjem je na sledećem linku.

Čuli ste kako nastaje kupa. Ako bismo u jednoj ravni 𝛼 imali krug i posmatrali tačku S van te ravni, kroz tu tačku bismo mogli da provučemo beskonačno mnogo pravih koje bi prolazile kroz tačke kružnice i one bi sve činile konusnu površ. Zamislimo tu površ kao beskonačno dugačak kornet. Kako smo našu konusnu površ presekli ravni 𝛼, ograničili smo jedan deo prostora i formirali geometrijsko telo kupu. Kupa je, dakle, geometrijsko telo ograničeno delom konusne površi i krugom.

Navikli smo do sada da sva geometrijska tela mogu biti i kosa i prava, pa tako postoji i kosa kupa i prava, a mi ćemo se baviti samo pravim kupama.

Krug kojim smo presekli konusnu površ je osnova, odnosno, baza kupe, a deo konusne površi čini njen omotač. Rastojanje vrha kupe S od osnove je visina kupe, H, i kod prave kupe je ona baš duž OS. Prava kojoj pripada duž OS naziva se osom kupe. Poluprečnik osnove je poluprečnik kruga, r. Duži koje čine omotač kupe i koje spajaju vrh kupe sa kružnicom u osnovi se nazivaju izvodnice i obeležavamo ih slovom s. Sve izvodnice su jednake među sobom i iz tog razloga je osni presek kupe jednakokraki trougao čije su stranice 2r, s i s. Koristeći formulu za površinu trougla i činjenicu da je visina tog trougla H a osnovica 2r, zaključujemo:

Površina osnog preseka: Pop = r ∙ H

Još možemo da uočimo da je polovina osnog preseka pravougli trougao čije su katete r i H, a hipotenuza izvodnica s pa važi:

s² = r² + H²

Ova činjenica je dosta korisna jer nam daje vezu između tri najvažnije duži kod kupe i često ćemo je koristiti u zadacima.

Primer  (3. str. 125.) Izračunaj visinu kupe i površinu osnog preseka ako je:

a) poluprečnik osnove 6 cm a izvodnica dužine 10 cm;

   

   r = 6 cm, s = 10 cm, H = ?, Pop = ?

   s² = r² + H²                                   Pop = r ∙ H

  10² = 6² + H²                                 Pop = 6 ∙ 8 = 48 cm²

  H² = 100 - 36 = 64

  H = 8 cm

b) prečnik osnove 30 cm, a izvodnica 25 cm.

    2r = 30  →   r = 15 cm, s = 25 cm

     s² = r² + H²                                   Pop = r ∙ H

  25² = 15² + H²                                 Pop = 15 ∙ 20 = 300 cm²

  H² = 625 - 225 = 400

  H = 20 cm

Primer (9. str.125.) Osni presek je jednakostranični trougao, Pop = 36√3 cm². H = ?, r = ?

Ako je osni presek jednakostranični trougao stranice a, sa slike vidimo da mora da važi a = 2r = s i da će H biti visina tog jednakostraničnog trougla.

Pop = a²√3/4    →    36√3 = a²√3/4

                                 a²/4 = 36

                                 a² = 36 ∙ 4

                                 a = 6 ∙ 2 = 12    →   s = 12,   2r = 12    →   r = 6

 H = a√3/2 = 6√3

Sve ovo lepo možete još jednom da vidite i na sledećem linku gde imate odeljak elementi kupe, osni presek, nastanak i mreža. Sada posebno pogledajte odeljak nastanak kupe.

Kako je kupa obrtno telo, ono nastaje rotacijom trougla: pravouglog ili jednakokrakog.

Rotacijom pravouglog trougla oko jedne od kateta nastaje kupa. Ta kateta oko koje rotira trougao će biti visina kupe, dok je druga onda poluprečnik osnove (pogledajte animaciju).

Rotacijom jednakokorakog trougla oko njegove visine isto nastaje kupa i tada je visina trougla i visina kupe a osnovica trougla je prečnik osnove kupe.

Primer (13. str. 125.) Pravougli trougao površine 29 cm² rotira oko jedne katete. Izračunaj površinu osnog preseka nastale kupe.

Ako biste nacrtali ovu rotaciju, pravougli trougao biste preslikali osnom simetrijom u odnosu na osu rotacije i uočavamo da ovaj pravougli trougao u stvari čini jednu polovinu jednakokrakog trougla koji će biti osni presek pa je zato Pop = 2 ∙ 29 = 58 cm²

Domaći zadatak: školske zbirke strana 125. zadaci: 7, 8, 10. i 17. (za razmišljanje). I obnovite malo formule za krug. Konkretno će nam trebati dužina kružnog luka, površina kružnog isečka. Najbolje je da se uputite na stranicu Sedmi razred gde imate čitavu temu Krug koju smo radili prošle godine.