Pravougli koordinatni sistem

Pre nego što počnemo današnju lekciju, zapišite veliki naslov teme VII Zavisne veličine i njihovo grafičko predstavljanje. Ovo nam je poslednja tema koju radimo u sedmom razredu.

Kako vam baš lepo nastavnica na RTS 3 objašnjava, predlažem da prvo odgledate video lekciju, a ja ću vam još jednom zapisati ono najvažnije i još malo dopuniti nekim stvarima i zadati domaći iz vaših zbirki.

Kada smo rešavali nejednačine, najčesće smo rešenja prikazivali na brojevnoj pravoj i uvek bismo pronalazili prvo ono granično rešenje i gledali da li je naše x veće ili manje od tog broja. Kako smo to radili? Setite se da smo birali uvek početnu tačku, 0, zatim birali dužinu jedinične duži, tj. koliko će nam biti rastojanje između položaja nule i jedinice, na istom razmaku bi bili i brojevi 1 i 2, 2 i 3... A isto bismo ponovili i ulevo, samo sa predznakom minus. Do sedmog razreda smo naučili i realne brojeve pa smo videli da svaki realan broj ima svoju određenu poziciju na brojevnoj pravoj.

Nekad smo tačke baš označavali velikim štampanim slovima A, B, C... i u zagradi bismo pisali broj koji odgovara tom položaju tačke i to zvali koordinatom tačke.

Ovaj prikaz položaja tačaka bi nam bio dovoljan da se sve tačke nalaze na jednoj pravoj, ali, složićemo se da to nije baš tako. Vi razne tačke možete nacrtati bilo gde u vašoj svesci a ona je model ravni pa nam treba način za određivanje položaja tačke u ravni. Nešto što treba da vas podseća na geografsku širinu i dužinu i određivanje lokacije na karti je upravo 

Dekartov pravougli koordinatni sistem

Sastoji se od dve ose koje su normalne jedna na drugu (zato je pravougli): 

x - osa ili apscisa i y - osa ili ordinata.

Koordinatni sistem tj. ose dele ravan na 4 oblasti koje se nazivaju kvadranti: prvi, drugi, treći i četvrti i redosled im je dodeljen u smeru suprotnom od kretanja kazaljke sata.

Kako određujemo položaj neke tačke?

Položaj svake tačke je određen njenim koordinatama koje predstavljaju udaljenost tačke od druge ose.

Da bismo videli kako to izgleda, ucrtaću tačku A negde u prvom kvadrantu za početak pa ćemo odrediti njen položaj.

Ako spustimo normalu od tačke A ka x - osi, očitavamo njenu x koordinatu koja je ovde x = 2, a ako povučemo normalu od tačke A ka y - osi, očitavamo njenu y koordinatu i vidimo da je za nju y = 3. Njene koordinate kraće zapisujemo kao uređeni par A(2, 3). Zove se uređeni par jer uvek znamo da je x uvek prva a y druga koordinata.

Ovde taman vidimo i da je  tačka A udaljena od x - ose 3 jedinične duži a od y - ose udaljena 2 jedinične duži što se slaže sa definicijom koordinata koja je napisana pre slike.

Ne smemo da zaboravimo na tačku koja se nalazi u preseku ove dve ose i naziva se koordinatni početak. Najčešće se označava slovom O a njene koordinate su O(0, 0).

Treba da naučimo da određujemo položaj tačaka sa koordinatnog sistema i to ćemo pokazati i provežbati na sledećem primeru. Biće nam bitno i da određujemo kom kvadrantu  pripada tačka i uočićemo neku pravilnost za sve tačke koje pripadaju određenom kvadrantu, ali idemo polako.

Primer

Odredimo položaj (koordinate) svakog balona sa slike.

Rozi balon ima koordinate 💗(3, 2), žuti 💛(-3, 1), zeleni 💚(2, 0), ljubičasti 💜(-4, -2) i crvenkasti 💓(0, -3). Primećujemo da dva balona ne pripadaju nijednom posebnom kvadrantu, već da su na granicama, na koordinatnim osama, 💚 i 💓. Zeleni se nalazi na granici između prvog i četvrtog tj. na x - osi i druga koordinata, y, mu je 0 što se i lepo može videti ako spustite normalu ka y - osi. Dakle, ako tačka ima koordinate (2, 0), ona će se nalaziti na x - osi jer je y koordinata 0. Isto će važiti i za tačke (-5, 0), (√2, 0)... Iz istog razloga je i crveni balon na y - osi, x koordinata je 0: (0, -3).
Zaključak:
npr.
A(-8, 0) - nalazi se na x - osi, baš gde je x = -8
B(0, 6) - nalazi se na y - osi, baš gde je y = 6

Rozi balon pripada prvom kvadrantu i obe koordinate su mu pozitivne: (3, 2).
Žuti balon pripada drugom kvadrantu i x - koordinata je negativna, a y pozitivna: (-3, 1).
Ljubičasti balon pripada trećem kvadrantu u kojem su obe koordinate negativne: (-4, -2).
Primetili biste da ako izaberemo i bilo koju tačku četvrtog kvadranta da će u njemu sve x - koordinate tih tačaka biti pozitivne, a y koordinate negativne. To je uvek tako, što možemo videti i na slici ispod. Ta "pravila" ne učimo napamet,  već prosto vidimo iz koordinatnog sistema pod uslovom da smo ga pravilno nacrtali: y koordinate su od koordinatnog početka na gore pozitivne, a na dole negativne, x koordinate su od koordinatnog početka na desno pozitivne a na levo negativne.

Primer
U ovom primeru odredite sami koordinate balona i zapišite ih u vašu svesku. Naravno, ako vam je lakše, umesto balona stavite tačke A, B, C... i uz pomoć njih napišite njihove koordinate i odredite kom kvadrantu pripadaju.

Primer

Date su tačke A(-1, 5), B(4, -2), C(-3, -1), D(3, 0), E(0, 4).
a) Odredimo bez crtanja kom kvadrantu pripadaju.
b) Nacrtajte zadate tačke u koordinatnom sistemu.

a) Možemo da zamislimo kako izgleda koordinatni sistem i dovoljno je samo da vodimo računa o predznacima brojeva koji su koordinate. Za tačku A je x negativno (-1), znači da će ona biti levo od koordinatnog početka, a kako je y pozitivno (5), to znači da će tačka biti gore u odnosu na koordinatni početak i x - osu. Dakle, tačka A se nalazi gore levo i to nam je drugi kvadrant.
Razmislite i videćete da važi i sledeće:
B(4, -2) ∈ IV, C(-3, -1) ∈ III, D(3, 0) se nalazi na x - osi, između I i IV kvadranta, E(0, 4) se nalazi na y - osi, između I i II kvadranta.

b) Ucrtajte sami date tačke u koordinatni sistem.

Domaći zadatak: iz vaših školskih zbirki sa strane 101. uradite sledeće zadatke: 2, 4, 5, 6, 9. i 11.
Možda će vam se činiti da ih ima mnogo, ali su kratki i jednostavni. Ako nije jasno nešto, pitajte! 🙋