Mreža i površina kupe

Domaći od prethodnog puta:

10. Osni presek kupe je jednakokrako-pravougli trougao površine 18 cm². Odredi izvodnicu, visinu i poluprečnik osnove kupe.

17. Poluprečnik osnove kupe je 12 cm, a zbir visine kupe i izvodnice je 36 cm. Odredi površinu osnog preseka kupe.

r = 12 cm, H + s = 36 cm, Pop = ? 

s² = r² + H²       ↘  s = 36 - H

(36 - H)² = 12² + H²

36² - 72H + H² = 144 + H²    /- H²

1296 - 72H = 144

72H = 1296 - 144

72H = 1152

H = 16,  s = 20    → Pop = r ∙ H = 12 ∙ 16 = 192 cm²

Mreža i površina kupe

Video lekcija 

Mrežu kupe možete pogledati na ovom linku i klizačem je možete zatvoriti i sklopiti u kupu a čak možete i menjati njene dimenzije i posmatrati kako se oblik menja. Savetujem da prvo ostavite dužinu visine na 7 a da smanjujete poluprečnik. Osnova kupe je naravno krug, a koji oblik predstavlja njen omotač? Inače biste sigurno pretpostavili da je omotač kupe trougao, ali nije, u pitanju je kružni isečak, bio on konveksan ili nekonveksan.

Da bismo shvatili zašto se površina omotača kupe računa na ovaj način, moramo se podsetiti kako se računa površina kružnog isečka. Kako je kružni isečak deo kruga, površinu smo računali kao deo površine kruga, tj. treba razlomak koji označava deo da pomnožimo sa površinom kruga s²𝜋 u ovom slučaju jer je izvodnica poluprečnik velikog kruga čiji je naš omotač deo.

Razlomak kojim uvek množimo površinu kruga da bismo dobili površinu isečka je 𝛼/360° jer koliko centralni ugao 𝛼 čini od 360°, toliko će i kružni isečak činiti od velikog kruga.

Dalje, kružni luk koji odgovara našem omotaču može da se računa po standardnoj formuli kao deo obima velikog kruga ali i kao dužina obima osnove pošto se taj kružni luk prilikom sklapanja kupe lepi na obod kruga koji je u osnovi.

S obzirom da isti deo koliko 𝛼 čini od 360°, isto toliko i kružni luk čini od čitavog obima velikog kruga, kada to iskoristimo, dobijamo jednostavnu formulu za površinu omotača kupe.

Prelazimo na zadatke. Da bismo se još malo podsetili formula koje se odnose na krug i da biste kasnije uradili lakše neke zadatke u vezi sa omotačem, radimo prvo 6. zadatak sa 125. strane.

6. Pi = ?, 𝛼 = 60°,  r = 4 cm 

        Pi = 𝛼/360° ∙ r²𝜋

        Pi = 60°/360° ∙ 4²𝜋

        Pi = 16𝜋/6 = 8𝜋/3 cm²

14. Od četvrtine kruga poluprečnika 6 cm napravljen je omotač kupe. s = ?, r = ?, H = ?

   Četvrtini kruga odgovara centralni ugao 𝛼 = 90° ili prosto možemo odmah pisati da je 𝛼/360° = 1/4.

   Krug kojem pripada omotač ima poluprečnik jednak izvodnici s, pa je s = 6 cm.

   M = s²𝜋/4

   M = 36𝜋/4 = 9𝜋 cm²      a u isto vreme je i M = rs𝜋  →  9𝜋 = r ∙ 6𝜋   →  r = 9/6 = 3/2

Visinu ćemo odrediti standardno Pitagorinom teoremom:

   H² = s² - r² = 36 - 9/4 = 135/4     →   H = 3√15/2 cm

Domaći zadatak: školske zbirke, strana 126.: 15, 3, 5, 7.