Zapremina lopte
Formula za zapreminu lopte poluprečnika r je:
V = 4/3 ∙ r³𝜋
Odakle nam ta formula?
Lep dokaz možete pogledati u sledećem klipu gde se objašnjava kako je lopta podeljena na male piramide čija je visina jednaka poluprečniku lopte i njihove zapremine zajedno čine zapreminu lopte. Klipovi su na engleskom, uključite titl da vam bude lakše ali pratite izvođenje, razumeće, jezik matematike je svuda isti :)
Još jedan klip u kojem vidite da dve kupe poluprečnika osnove istog kao poluprečnik lopte (r kupe = r lopte) i visine kupe jednake visini lopte tj. njenom prečniku imaju istu zapreminu kao i data lopta.
I poslednji dokaz ove formule koji možete pogledati je ova GeoGebra animacija u kojoj se vidi da je zapremina polulopte jednaka razlici između zapremina valjka i kupe, gde su, naravno, sve figure jednakih visina. Možemo to potvrditi na sledeći način:
V lopte/2 = Vvaljka - Vkupe
2/3 ∙ r³𝜋 = r²𝜋 ∙ H - r²𝜋 ∙ H/3
2/3 ∙ r³𝜋 = 2r²𝜋 ∙ H/3 a kako je H = r
2/3 ∙ r³𝜋 = 2r²𝜋 ∙ r/3
2/3 ∙ r³𝜋 = 2r³𝜋/3 ✓
Primer Izračunaj zapreminu lopte ako je njen poluprečnik:
a) r = 3 cm, b) r = 0,6 cm, v) r = √6 cm
V = 4/3 ∙ r³𝜋 V = 4/3 ∙ r³𝜋 V = 4/3 ∙ r³𝜋
V = 4/3 ∙ 3³𝜋 V = 4/3 ∙ 0,6³𝜋 V = 4/3 ∙ √6³𝜋
V = 4/3 ∙ 27𝜋 V = 4/3 ∙ 0,36 ∙ 0,6𝜋 V = 4/3 ∙ 6√6𝜋
V = 4 ∙ 9𝜋 V = 4/3 ∙ 0,216𝜋 V = 4 ∙ 2√6𝜋
V = 36𝜋 cm³ V = 4 ∙ 0,072𝜋 V = 8√6𝜋 cm³
V = 0,288𝜋 cm³
4./136. Odredi zapreminu lopte ako je površina velikog kruga lopte 144𝜋 cm².
Pvk = 144𝜋
Pvk = r²𝜋
r² = 144 ⇒ r = 12 cm
V = 4/3 ∙ r³𝜋
V = 4/3 ∙ 144 ∙ 12𝜋 skratimo 12 i 3
V = 4 ∙ 144 ∙ 4𝜋 = 2304𝜋 cm³
7. Zapremina lopte je 288𝜋 cm³. Odredi njenu površinu.
V = 4/3 ∙ r³𝜋 = 288𝜋 /:𝜋
4/3 ∙ r³ = 288 /∙3
4r³ = 288 ∙ 3 /:4
r³ = 72 ∙ 3 = 8 ∙ 9 ∙ 3 = 2³ ∙ 3³ = (2 ∙ 3)³ = 6³ ⇒ r = 6 cm
P = 4r²𝜋 = 4 ∙ 36𝜋 = 144𝜋 cm²
15. r₁ = r +1, P₁ = P + 36𝜋, V = ?
4r₁²𝜋 = 4r²𝜋 + 36𝜋 /:𝜋
4(r + 1)² = 4r² + 36
4r² + 8r +4 = 4r² + 36 /-4r²
8r + 4 = 36
8r = 32
r = 4 cm
V = 4/3 ∙ r³𝜋 = 256𝜋/3 cm³
Domaći zadatak: školska zbirka, strana 136, zadaci: 5, 10, 13, 14.
Comments
Post a Comment