Proporcije i primena

Da biste bolje razumeli današnju temu, odgledajte i video lekciju koju možete pustiti od 6:27.

Za početak ćemo uraditi jednostavan zadatak u vezi sa razmerom na karti.

8./109. Rastojanje između Kragujevca i Kraljeva je 45 km, a između Kragujevca i Beograda 92 km. Kolika su ova rastojanja na karti koja je rađena u razmeri 1 : 100000?

Ovaj zadatak možemo jednostavno rešiti uz pomoć proporcije. U razmeri je uvek na prvom mestu rastojanje na karti, pa tek onda rastojanje u stvarnosti pa ih tim redom navodimo i prilikom sastavljanja proporcije. Nepoznato nam je rastojanje na karti pa naša proporcija za KG - KV (1 km = 1000 m) glasi:

x : 45000 = 1 : 100000

100000 ∙ x = 45000 ∙ 1

x = 45000/100000

x = 45/100 = 0,45 m = 45 cm

Zelenim su označene dužine na karti koje su na prvom mestu, a crvenim dužine u stvarnosti koje su na drugom mestu. Na isti način bismo računali i rastojanje KG - BG na karti, a taj deo zadatka uradite za domaći. 

U sledeća dva zadatka ćemo pokazati kako sastavljamo proporcije sa veličinama koje su direktno proporcionalne i sa veličinama koje su obrnuto proporcionalne.

4./109. Zadatak kaže da su izrazi x + 8 i 2x - 6 direktno proporcionalni brojevima 8 i 5. Kako ćemo najlakše sastaviti proporciju?

U jednu kolonu ćemo pisati izraze redom kojim su navedeni, a u drugu kolonu brojeve isto tim redom kako su navedeni.                       

Zatim treba da postavimo strelice koje će nam pokazati da je reč o direktnoj proporcionalnosti. Recimo da kod prve kolone postavim strelicu da pokazuje od gore ka dole:

                      

Ako se setimo da smo rekli da za direktno proporcionalne veličine važi da kada jedna veličina raste ↗, tada raste i druga ↗ (i isto tako, kad jedna opada↘, opada i druga↘), onda će nam biti jasno zašto ću i drugu strelicu da postavim na isti način:

Čemu mi sad služe strelice? Strelice mi govore na koji način da sastavim proporciju: pratim ih, smer strelice mi pokazuje u prvoj koloni koji mi je prvi a koji drugi član proporcije, i u drugoj koloni u smeru koji pokazuje strelica, tim redom su mi treći i četvrti član proporcije koju sad zapisujem:

(x + 8) : (2x - 6) = 8 : 5

5 ∙ (x + 8) = 8 ∙ (2x - 6)

5x + 40 = 16x - 48     /-16x

5x - 16x + 40 = -48

-11x + 40 = -48     /-40

-11x = -88    /: (-11)

x = 8

5. Izrazi 4x - 9 i 3x + 1 su obrnuto proporcionalni brojevima 25 i 23. Odredimo x.

Na isti način radimo i ovaj zadatak ali pošto su izrazi obrnuto proporcionalni brojevima, a znamo da kod takvih veličina kada jednu povećavam ↗, druga se smanjuje ↘, ovde strelice postavljam u suprotnom smeru:

Naša proporcija, prateći strelice, sada glasi:

(4x - 9) : (3x + 1) = 23 : 25

Rešavanje ćemo ostaviti za domaći.

Ovaj jednostavan način postavljanja proporcija uz pomoć strelica koristimo nadalje i u praktičnim, problemskim zadacima iz života. Za sve one veličine za koje smo do sada videli da su direktno proporcionalne postavljaćemo strelice u istom smeru, a za obrnuto proporcionalne veličine ćemo strelice postavljati u suprotnom smeru. Objasnićemo na par primera.

Primer Koliko je potrebno brašna za 70 kg hleba ako se od 4 kg brašna dobija 5 kg hleba?

Prvo što treba je da uočimo veličine koje nam se javljaju u zadatku: količina brašna u kg i količina hleba u kg. Zato ćemo praviti dve kolone podataka sa jasnim i kratkim nazivima a možemo i jedinice zapisati u zagradi:

brašno (kg)             hleb (kg)

Sledeće što radimo je da uočimo podatke koji su nam zadati. U zadatku kaže da se od 4 kg brašna dobija 5 kg hleba, dakle ovoj količini brašna od 4 kg odgovara količina hleba od 5 kg i to nam je prva vrsta podataka, gde svaki podatak pišemo u odgovarajuću kolonu: brašno u brašno, hleb u hleb

brašno (kg)             hleb (kg)

4                             5

Zadat nam je još jedan podatak koji je nepotpun, tj. ne znamo koliko nam brašna treba za 70 kg hleba pa u narednu vrstu kod brašna pišem x a kod hleba pišem 70:

brašno (kg)             hleb (kg)

4                             5

x                            70

Izvukli smo podatke i zapisali u tabelu gde tačno vidimo kojoj vrednosti jedne veličine odgovara vrednost druge veličine.

Da bismo sastavili proporciju potrebne su nam naše strelice. Kako da znam kako da ih postavim?

Prvu strelicu obično postavim tako da od nepoznate x ide ka gore.

Zatim razmišljamo kako to funkcioniše u stvarnosti, tj. ako ja želim npr. više hleba da napravim, logično je da će mi trebati i više brašna ili recimo ako imam nešto manje brašna, sigurno ću dobiti i manje hleba. Kako su mi kombinacije više - više i manje - manje, to mi govori da se ove veličine isto ponašaju tj. da kad jedna raste ↗, tada raste i druga ↗ i u pitanju je direktna proporcionalnost pa obe strelice postavljam u istom smeru:

Sada prateći strelice sastavljam proporciju i rešavam je.

Nekako uvek gledam da proizvod ne množim da bih posle opet delila već pišem u ovom obliku jer obično nešto može da se skrati.

Odgovor je: Za 70 kg hleba je potrebno 56 kg brašna.

Direktno proporcionalne veličine u zadacima su nam obično kao i ovde količina materijala za neki proizvod i sama količina proizvoda, količina namirnica u prodavnici i iznos računa (ako više kupim, više ću i platiti), vreme utrošeno na neki posao i količina urađenog posla... Smislite i vi neki primer.

Primer Jedan posao tri radnika obave za 12 dana. Za koliko dana bi isti posao obavila četiri radnika?

Ovo je još jedan primer koji se često sreće. Veličine koje upoređujemo su broj radnika i broj radnih dana. Primetimo da se pominje i posao ali kako se taj posao ne menja (ista količina posla je u pitanju), za taj posao nećemo praviti posebnu kolonu. Za sada samo ovako:

radnici                      dani

Kako 3 radnika obave posao za 12 dana, to će nam biti prva vrsta podataka, a pošto ne znamo za koliko dana će 4 radnika da obave posao, u narednu vrstu kod radnika pišemo 4, a kod broja dana x:

radnici                      dani

3                              12

4                                x

Prva strelica ide od x ka gore:

a za postavljanje druge strelice razmišljamo: ako bude radilo više radnika, trebaće im manje dana da urade posao ili manje radnika isti posao sigurno urade za više dana. Kako je kombinacija više - manje ili manje - više, veličine su obrnuto proporcionalne jer dok jedna raste↗, druga opada↘  pa i strelice postavljamo u suprotnom smeru:

Isti posao bi četiri radnika uradila za 9 dana.

Još neki od primera za obrnuto proporcionalne veličine su i brzina i vreme kretanja (što se brže krećemo, manje nam vremena treba da pređemo neko rastojanje), broj paketa neke određene robe i veličina samih paketa (ako biram manje kutije, sigurno će mi trebati više takvih kutija da bih sve zapakovala)...

Domaći zadatak: strana 109. : rešite proporciju iz zadatka 5, završite 8, a uradite još i 7, 9, 11, 16. i 17.