Površina sfere

Postoji više načina da se pokaže "ispravnost" formule za površinu sfere.

Jedan od ogleda kaže da ako uzmemo jednu pomorandžu koja ima lep oblik sfere, presečemo je duž velikog kruga i nacrtamo 4 takva kruga opcrtavanjem pomorandže na papiru da kada bismo je oljuštili, kora bi popunila tačno sva četiri velika kruga, što bi značilo da formula za površinu sfere glasi:

P = 4r²𝜋 - površina sfere

gde je r poluprečnik sfere.

Još jedan sličan ogled možete pogledati u sledećem klipu.

Primer (1./135.) Izračunaj površinu lopte ako je njen poluprečnik: b) r = 3/5 cm;  g) r = √7 cm.

b)  P = 4 ∙ r²𝜋 = 4 ∙ (3/5)²𝜋 = 4 ∙ 9/25 ∙ 𝜋 = 36𝜋/ 25 cm² = 1,44𝜋 cm²

g) P = 4 ∙ r²𝜋 = 4 ∙ (√7)²𝜋 = 4 ∙ 7𝜋 = 28𝜋 cm²

Primer (3.) Obim velikog kruga lopte je 30𝜋 cm. Odredi površinu lopte.

Ovk = 2r𝜋

30𝜋 = 2r𝜋  ⇒  r = 30 : 2 = 15 cm         ⇒   P = 4 ∙ r²𝜋 = 4 ∙ 15²𝜋 = 4 ∙ 225 ∙ 𝜋 = 900𝜋 cm² 

7./135. Polukrug površine Ppk = 32𝜋 cm² rotira oko svog prečnika. Odredi površinu nastalog tela.

Rotacijom polukruga nastaje lopta. Površina polukruga je jednaka polovini površine kruga koji je veliki krug za našu loptu:

Ppk = Pvk/2

⇒ Pvk = 2Ppk = 2 ∙ 32𝜋 = 64𝜋

⇒  r²𝜋 = 64𝜋

Plopte = 4 ∙ Pvk

Plopte = 4 ∙ 64𝜋 = 256𝜋 cm²

Mogli smo i prvo da zaključimo iz površine velikog kruga da je poluprečnik lopte 8 cm i dobili bismo isti rezultat.

9./135. Površina lopte je 36𝜋 cm². Odredi površinu polulopte.

 

Površina polulopte se ne računa samo kao pola površine lopte, ne sme se zaboraviti i veliki krug koji joj je osnova.

Površina polulopte:    P = Plopte/2 + Pvk

                                   P = 2r²𝜋 + r²𝜋

                                   P = 3r²𝜋

Kako je Plopte = 36𝜋 = 4r²𝜋  ⇒  4r² = 36,   r² = 9  ⇒  r = 3 cm

P = 3 ∙ 9𝜋 = 27𝜋 cm²

Podsetimo se preseka lopte i ravni narednim zadatkom.

10./135. d = 6 cm, Pmk = 64𝜋 cm², Plopte = ? 

Pmk = r₁²𝜋 = 64𝜋   ⇒   r₁ = 8 cm

r² = d² + r₁²

r² = 6² + 8² = 100     ⇒  r = 10 cm

P lopte = 4 ∙ r²𝜋 = 4 ∙ 100𝜋 = 400𝜋 cm²

11./135.  r´= r + 2, P´= P + 80𝜋, r = ? 

P = 4r²𝜋       P´= 4r´²𝜋

                P + 80𝜋 = 4(r + 2)²𝜋

           4r²𝜋 + 80𝜋 = 4(r² + 4r + 4)𝜋

           4r²𝜋 + 80𝜋 = 4r²𝜋 + 16r𝜋 + 16𝜋      /-4r²𝜋

           16r𝜋 + 16𝜋 = 80𝜋         /-16𝜋    /:𝜋

           16r = 64

               r = 4 cm

Domaći zadatak: strana 135.: 1. a), v), 5, 6, 8. i za razmišljanje 12. i 13. (skicirati!)