Razmera i proporcija

Video lekcija

Primeri razmere:

Za razmeru ste čuli na časovima geografije gde ste spominjali razmeru na karti koja predstavlja odnos tj. količnik dužina na karti i u stvarnosti. Pogledajmo primere na slici.

Na poslednjem primeru je karta rađena u razmeri 1 : 25000 (čita se 1 prema 25000) što nam govori da 1 cm na karti predstavlja 25000 cm u prirodi ili da 3 cm na karti sigurno onda predstavljaju 75000 cm u prirodi (3 ∙ 25000). I vrlo je važno da ispratimo da se prvi broj uvek odnosi na dužinu na karti a drugi na dužinu u stvarnosti, što i nije ništa čudno s obzirom na to da je drugi broj veći pa nam je to prirodno.

Za razmeru ste mogli čuti još i u receptima gde možda nemate tačne mere sastojaka ali je bitan njihov odnos pa sami birate koliko ćete upotrebiti na osnovu onog što imate. Ako recept kaže "pirinač naliti vodom u razmeri 1 : 3", šta to znači? To znači da na jednu meru pirinča ide tri mere vode tj. ja mogu sipati 1 šolju pirinča i 3 šolje vode ili čak i 1 kantu pirinča i 3 kante vode. Zanimljivo je još i korisno da znamo da je isto i kad bih sipala 2 šolje pirinča i onda mi treba 6 šolja vode. Da li se slažemo? Zapišite sebi ove primere. Nadam se da ste razumeli čime ćemo se baviti i šta sam ja to ovde radila sa brojevima kad smo rekli da su neke stvari iste, a sada ćemo lepo definisati sve i dati pravila za računanje i korišćenje ovih pojmova.

Razmera je količnik dve veličine.

y : x = k

 ↖ ↗     ↖

članovi        vrednost

razmere        razmere

Primer Ako su razlomci u razmeri, da bismo je pojednostavili, što uvek gledamo da uradimo, možemo ih zameniti celim brojevima tako što ćemo izračunati količnik tih brojeva:

ili možemo iskoristiti 

Osnovno svojstvo razmere:

koje kaže da ako oba člana razmere pomnožim (ili podelim) istim brojem, razmera se neće promeniti.

Kada su razlomci u pitanju, uvek se množi sa NZS za imenioce, u našem primeru sa 15:

Primer Posmatrajmo još jednom primer sa pirinčem i vodom koji se odnose kao 1 : 3. 

a) Koliko mi treba vode ako imam 400 g pirinča?

b) Koliko mi treba pirinča za jednu i po šerpu vode?

a) 1 : 3 = (1 ∙ 400) : (3 ∙ 400) = 400 : 1200  → treba 1200 g vode

b) 1 : 3 = (1 : 2) : (3 : 2) = 0,5 : 1,5  → treba pola šerpe pirinča

Primer Razmera se obično koristi kada se prave neki rastvori ili kad se koriste razni deterdženti pa se navede u uputstvu da "na 50 ml deterdženta sipate 5 l vode". Koja je ovde razmera u pitanju? (1l = 1000 ml).

50 ml : 5 l = 50 : 5000 = 10 : 1000 = 1 : 100

Proporcija je jednakost dve razmere:

a i d su spoljašnji članovi, b i c su untrašnji članovi

Kada su dve razmere jednake? Pa kada je vrednost razmere isti broj.

Primer      Brojevi 13 i 39 se odnose isto kao i brojevi -18 i -54. Zašto?
Odnos brojeva 13 i 39, tj. njihova razmera je 13 : 39 = (13 : 13) : (39 : 13) = 1 : 3 = 1/3
a odnos brojeva -18 i -54 je -18 : (-54) = (-18 : (-18)) : (-54 : (-18)) = 1 : 3 = 1/3.
Kako su im vrednosti razmere jednake, oni čine proporciju:

13 : 39 = -18 : (-54)

gde su 13, 39, -18 i -54 redom prvi, drugi, treći i četvrti član proporcije a 13 i -54 spoljašnji članovi (jer su sa krajeva), a 39 i -18 unutrašnji članovi proporcije.

Ako se setimo, kada imate jednakost dva razlomka, tada možemo da zaključimo sledeće:

to smo zvali unakrsno množenje.

Primer

Ono nam pomaže da rešimo proporciju tj. daje nam njenu osnovnu osobinu na osnovu koje je rešavamo.

Osnovno svojstvo proporcije:

Množenjem spoljašnjih članova proporcije dobijam isti rezultat kao i množenjem unutrašnjih članova proporcije.

Primer   Proveri da li su tačne proporcije:

a)  3 : 2 = 9 : 6

     ⇒   3 ∙ 6 = 2 ∙ 9

           18 = 18       tačno

b)  18 : 24 = 3 : 4

     ⇒   18 ∙ 4 = 24 ∙ 3

            72 = 72      tačno

v)  9 : 11 = 11 : 9

     ⇒   9 ∙ 9 = 11 ∙ 11

           81 = 121      netačno

Ovaj poslednji primer nam govori da nikad ne smemo menjati mesta brojevima u razmeri jer se uvek mora znati koji je prvi a koji je drugi njen član.

Navešćemo još neke osobine proporcija.

Osobine proporcije:

Primer   Reši proporciju:        

2./109. strana

g) 

d) 

e) 

Domaći zadatak: 

1. Pronađite u kući primer razmere i objasnite kako biste rešili neki problem u vezi s njom: da li recept za pravljenje nekog rastvora pa napišite kako biste ga napravili; ili kako biste napravili umanjeni komad nameštaja, u kojoj razmeri, sa stvarnim merama i merama vašeg modela...

2. U vašoj svesci na kvadratiće nacrtajte neku jednostavnu sliku (recimo glavu mace ali uprošćenu, koristite geometrijske oblike) a zatim sliku ponovite pored ali umanjenu ili uvećanu u nekoj razmeri i obavezno napišite u kojoj razmeri. Uz pomoć kvadratića u svesci ćete lakše povećati sve dužine na crtežu nekoliko puta. Videćemo koliko ćete biti uspešni 🎨🖌 Ovo je korisna vežba, na isti način sam i ja na milimetarskoj hartiji nacrtala crtež koji sad uvećan vidite iznad vrata pored učionice za ruski jezik. Nije bilo potrebe crtati veliki crtež već samo nacrtati željeni mali a posle samo meriti lenjirom i kopirati uvećane dužine. Pokušajte!

3. Uprostite razmere (nek im članovi budu prirodni, uzajamno prosti brojevi):

   

    a) 0,12 : 0,036              b) (8 celih 3/4) : (4 cela 1/12)

uradite iz školske zbirke sa strane 109. zadatke: 2. a), b), v), đ) i 3.