Primena proporcionalnosti 1

Rešenja i objašnjenja nekih zadataka od prošlog domaćeg:

9. Ako želimo više krompira, moramo i više platiti, pa je proporcionalnost direktna, strelice u istom smeru:

 krompir (kg)            novac (din) 

6...........................138

↑15...............................x ↑

x : 138 = 15 : 6

6x = 15 ∙ 138

x = 15 ∙ 138/6

x = 5 ∙ 69 = 345 dinara

11. Ako inženjer provede više vremena na službenom putu, više će i biti plaćen, direktna proporcionalnost, strelice u istom smeru za podatke i rešiti.

16. Ako se voz brže kreće (veća brzina) manje će mu trebati vremena da pređe isti put, zato je proporcionalnost obrnuta i strelice stavljamo u suprotnim smerovima. Ovde samo voditi računa da voz mora da stigne na vreme na narednu stanicu a kako je kašnjenje bilo 30 minuta, sada isti put mora preći za 2h = 120 minuta kako bi nadomestio kašnjenje pa nepoznatoj brzini x odgovara 120 minuta.

17. Za istu količinu vina i veće flaše će nam trebati manji broj takvih većih flaša → obrnuta proporcionalnost ↑↓.

Uradimo još koji sličan zadatak pa ćemo preći na nešto novo.

14. Od 80 kg pečuraka sušenjem se dobije 15 kg. Koliko se kilograma suvih pečuraka dobije od 120 kg svežih?

Ako želim više suvih pečuraka, sigurno moram iskoristiti i više svežih - ↑↑:

 sveže pečurke (kg)      suve pečurke (kg) 

80 ................................15

↑ 120 ................................. x ↑

x : 15 = 120 : 80

80x = 15 ∙ 120

x = 15 ∙ 120 /80

x = 22,5 kg

Od 120 kg svežih pečuraka se može dobiti 22,5 kg suvih.

19. Zidar završi neki posao za 12 dana ako radi 10 sati dnevno. Za koliko dana će završiti isti posao ako radi 8 sati dnevno?

Ako želim da radim manje u toku dana, sigurno će mi trebati više dana da bih završila posao pa je proporcionalnost obrnuta ↑↓:

 dani                    sati dnevno 

12 ............................... 10

↑ x ................................. 8 ↓

x : 12 = 10 : 8

8x = 120

x = 120 : 8 = 15

Isti posao će završiti za 15 dana ako radi 8 sati dnevno.

Račun podele

Sada ćemo se baviti postupkom za podelu neke sume na delove (sabirke) ako želimo da ti delovi budu u određenom odnosu (razmeri). Pokazaćemo kako se to radi na sledećem primeru.

Primer (22./110.) Broj 22 podeli na dva sabirka koji su u razmeri 5 : 6.

Neka su mi traženi sabirci a i b, oni u zbiru moraju dati 22:     a + b = 22

Ako oni treba da budu u razmeri 5 : 6 to znači da se njihove vrednosti odnose kao ta dva broja:

                    a : b = 5 : 6

To nikako automatski ne znači da su oni 5 i 6, već je to samo njihov odnos. Ako se setimo da jedna razmera može da se zapiše na beskonačno mnogo načina, proširivanjem kao 5 : 6 = 10 : 12 = 15 : 18 = 20 : 24..... vidimo da ima beskonačno mnogo rešenja. Kako ćemo znati koje je u pitanju? Pa zbir ova dva broja mora biti 22. Složićemo se da vidimo da su brojevi 10 i 12 ali primeri nisu uvek ovako jednostavni pa ćemo sad pokazati potpun pravilan postupak za rešavanje ovog problema. Dakle, naš problem je:

a + b = 22

a : b = 5 : 6

Ako se setimo priče o razmeri i pirinču i vodi, za razmeru 1 : 3 smo rekli da to znači da na jednu neku meru pirinča, dolazi 3 takve mere vode.

Isto radimo i ovde: 5 mi se odnosi na a pa znam da a u sebi sadrži 5 nekih mera, a kako mi se 6 odnosi na b, to znači da b u sebi sadrži 6 takvih istih mera. Ako za meru izaberem neki broj k, evo šta zaključujem iz moje razmere:

a : b = 5 : 6  ⇒  a = 5 ∙ k,   b = 6 ∙ k

I sada ta dva podatka zamenjujem u zbir:

5 ∙ k + 6 ∙ k = 22

11 ∙ k = 22         ⇒          k = 22/11 = 2

Kada znam kolika mi je mera, k, lako računam a i b:

a = 5 ∙ k = 5 ∙ 2 = 10

b = 6 ∙ k = 6 ∙ 2 = 12

27./110. Unutrašnji uglovi trougla odnose se kao 2 : 3 : 5. Odredi njihove mere.

Nemojte da vas buni što sada u razmeri imamo tri člana, možemo ih imati i više. Kako unutrašnje uglove trougla obično obeležavamo 𝛼, 𝛽 i 𝛾 iz navedenog odnosa u zadatku zaključujemo:

𝛼 : 𝛽 : 𝛾 = 2 : 3 : 5

Ovo je jedna produžena proporcija. I iz nje izlačimo sledeće podatke kao i u prethodnom primeru:

𝛼 : 𝛽 : 𝛾 = 2 : 3 : 5      ⇒    𝛼 = 2k

                                    ⇒    𝛽 = 3k

                                    ⇒    𝛾 = 5k

Kako znamo da je zbir unutrašnjih uglova u trouglu 180°:

𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 180°

2k + 3k + 5k = 180°

10k = 180°    ⇒    k = 18°

𝛼 = 2 ∙ 18° = 36°,  𝛽 = 3 ∙ 18° = 54°,  𝛾 = 5 ∙ 18° = 90°

Domaći zadatak: školska zbirka, zadaci: 12. sa strane 109, a sa strane 110: 18, 20, 23, 29, 30.