Površina i zapremina kupe - vežbe 1

Primer (7.) Odredi zapreminu kupe čija je površina 90𝜋 cm², a zbir izvodnice i poluprečnika osnove 18 cm.

P = r²𝜋 + rs𝜋                         s + r = 18

90𝜋 =  r²𝜋 + r ∙ (18 - r)𝜋

90 = r² + 18r - r²

18r = 90

r = 5 cm         s = 18 - 5 = 13    H² = s² - r² = 169 - 25 = 144     H = 12 cm

V = r²𝜋 ∙ H/3

V = 25𝜋 ∙ 12/3 = 100𝜋 cm³

Primer (9. a)) V = ?, P = 200𝜋 cm²,  M = 136𝜋 cm² 

P = B + M

200𝜋 = B + 136𝜋  ⇒  B = 200𝜋 - 136𝜋 = 64𝜋

B = 64𝜋      r²𝜋 = 64𝜋   ⇒   r = 8 cm

M = r ∙ s ∙ 𝜋 

136𝜋 = 8 ∙ s ∙ 𝜋

s = 136 : 8 = 17 cm

H² = s² - r² = 289 - 64 = 225    ⇒   H = 15 cm

V = r²𝜋 ∙ H/3 = 64𝜋 ∙ 15/3 = 64𝜋 ∙ 5 = 320𝜋 cm³

Primer (11.) V = 768𝜋 cm³,  H = 16 cm,  P = ? 

V = r²𝜋 ∙ H/3

768𝜋 = r²𝜋 ∙ 16/3                 /∙3

2304𝜋 = r²𝜋 ∙ 16                  /:16𝜋

144 = r²    ⇒     r = 12 cm

s² = r² + H²

s² = 144 + 256 = 400     ⇒    s = 20 cm

P = r²𝜋 + rs𝜋

P = 144𝜋 + 12 ∙ 20𝜋 = 144𝜋 + 240𝜋 = 384𝜋 cm²

15./128. Olovna kupa visine 30 cm pretopljena je u valjak jednake osnove. Izračunaj visinu dobijenog valjka.

Hk = 30 cm, Bk = Bv = B   Kupa i valjak imaju jednake osnove, znači jednake poluprečnike i površine baza. Ako je jedno telo pretopljeno u drugo, površina se sigurno promenila, ali zapremina nije. Dakle, kupa i valjak imaju jednake zapremine:   Vk = Vv

B ∙ Hk/3 = B ∙ Hv     /: B

 Hk/3 = Hv

Hv = 30/3 = 10 cm

20. Izračunaj zapreminu ravnostrane kupe (2r = s) ako je površina kupe 288𝜋 cm².

Ne bi bilo loše da skiciramo ravnostranu kupu, uočimo neke stvari sa crteža i izvedemo formule za nju. Formule ne moramo učiti napamet, naravno.

23. H = 6 cm, s = r + 2, P = ?, V = ?

s² = r² + H²

(r + 2)² = r² + 6²

r² + 4r + 4 = r² + 36         /-r²-4

4r = 32

r = 8 cm    ⇒   s = 10 cm

P = 64𝜋 + 80𝜋 = 144𝜋 cm²         V = 64𝜋 ∙ 6/3 = 128𝜋 cm³

22. Površina kupe je 24𝜋 cm², a izvodnica 5 cm. Odredi zapreminu kupe.

P = r²𝜋 + rs𝜋 = 24𝜋,    s = 5 cm

r²𝜋 + 5r𝜋 = 24𝜋    /:𝜋

r² + 5r = 24                   Sad treba da nađemo način da rešimo ovu jednačinu. Najjednostavnije je da rastavimo binom sa leve strane izvlačenjem r ispred zagrade, dobijamo:

r ∙ (r + 5) = 24                  Dakle, treba nam proizvod dva broja koja se razlikuju za 5 i da im je proizvod 24:    24 = 1 ∙ 24 = 2 ∙ 12 = 3 ∙ 8 = 4 ∙ 6    otkrivamo da su u pitanju brojevi 3 i 8, pa:

r ∙ (r + 5) = 3 ∙ 8

3 ∙ (3 + 5) = 3 ∙ 8    ⇒   r = 3 cm

H nalazimo iz Pitagorine teoreme:

H² = s² - r² = 25 - 9 = 16    ⇒    H = 4 cm

V = 9𝜋 ∙ 4/3 = 12𝜋 cm³

31. Jedna kateta pravouglog trougla je 6 cm, a ugao naspram nje je 60°. Izračunaj zapreminu tela koje nastaje rotacijom tog trougla oko date katete.

Ako nacrtamo sliku, videćemo da je naspram ugla od 30° poluprečnik r i on će biti jednak polovini hipotenuze s, tj. s = 2r i vidimo da je u pitanju ravnostrana kupa.

s² = H² + r²

(2r)² = 36 + r²

4r² - r² = 36   ⇒  3r² = 36,     r² = 12   ⇒   r = 2√3 cm,     s = 4√3 cm

P = 12𝜋 + 24𝜋 = 36𝜋 cm²

V = 12𝜋 ∙ 6/3 = 24𝜋 cm³

Domaći zadatak: školska zbirka, strana 128, zadaci: 17, 19, 21, 23, 30. I pokušajte da uradite zadatak koji je bio pre par godina na završnom ispitu:

Od trećine kruga, čiji je obim 18𝜋 cm, napravljen je omotač jedne kupe. Kolika je zapremina te kupe?