Direktno i obrnuto proporcionalne veličine - vežbe

1. Tačka A(0, -8) je na rastojanju 5 jediničnih duži od tačke B. 

a)  Ako tačka B ima apscisu 4, odredi joj ordinatu.

b) Odredi koordinate središta duži AB.

a)  A(0, -8),  |AB| = 5, B(4, y),  y = ?
|AB|² = (4 - 0)² + (y - (-8))²
25 = 4² + (y + 8)²
25 = 16 + (y + 8)²
(y + 8)² = 25 - 16 = 9
(y + 8)² = 9              Koji broj kvadriran daje 9? Može biti 3 i -3! Zato:
y + 8 = 3    ili    y + 8 = -3
y = 3 - 8            y = -3 - 8
y = -5         ili   y = -11

Dakle, tačka B može biti na dva mesta, tj. imamo dva rešenja: B₁(4, -5) i B₂(4, -11).

b)  S(x, y) = ?

1)  za  A(0, -8) i B₁(4, -5):                 2) za A(0, -8) i B₂(4, -11):

x = (0 + 4)/2 = 2                                    x = (0 + 4)/2 = 2

y = (-8 + (-5))/2 = -6,5                          y = (-8 + (-11))/2 = -9,5

S(2; -6,5)                                               S(2; -9,5)

9./106.  U fabrici automobila se svakog dana sklopi 250 automobila. Da li je zavisnost ukupne količine sklopljenih automobila od broja dana direktna proporcionalnost ili obrnuta? k = ?

Ako se za jedan dan sklopi 250 automobila, za dva dana se ukupno sklopi 500 automobila, za 3 dana → 750 automobila... Kako se traži zavisnost broja automobila od broja dana, dani su nezavisna promenljiva, x, a ukupan broj automobila zavisna promenljiva, y. vidimo da je:

250/1 = 500/2 = 750/3 = 250. Kako je količnik stalan tj. važi k = y/x i k = 250, proporcionalnost je direktna i zavisnost je y = 250 ∙ x.

16./107. Ako je osnovica jednakokrakog trougla a = 6,5 cm, izrazi zavisnost obima od kraka trougla. Da li su u ovom slučaju obim i krak direktno proporcionalne veličine?

O = a + 2b

O = 6,5 + 2b    - zavisnost obima od kraka trougla

Nisu ni direktno ni obrnuto proporcionalne veličine jer ne važi ni y = kx ni y = k/x.

18./107. Zapiši zavisnost veličina (y = kx) koja odgovara graficima.

a) x = 1, y = 1 ⇒  k = 1/1 = 1   ⇒ y = 1 ∙ x   tj.   y = x

v) x = 1, y = 3 ⇒  k = 3/1 = 3   ⇒ y = 3 ∙ x 

12./108. Odredi koje su veličine direktno, a koje obrnuto proporcionalne:

a) susedne stranice pravougaonika stalne površine P;

b) površina trougla i njegova visina ako je odgovarajuća stranica stalne dužine.

Ovde nam je zadatak da proverimo da li zavisnost naznačenih veličina možemo da zapišemo kao y = kx ili y = k/x

a) Pre svega nam treba formula za površinu pravougaonika: P = a ∙ b

    Ako zadatak kaže da je površina stalna, nju posmatramo kao konstantu i možemo da je zamenimo sa bilo kojim brojem ili bolje sa k, pa pišem:          k = a ∙ b

Kako se traži zavisnost stranica, izrazim jednu, npr. a:    a = k/b.

Odavde vidim da formula odgovara y = k/x, pa je proporcionalnost obrnuta.

b) P = a ∙ h/2,    stranica je stalna, a posmatram P i h,    P = (a/2) ∙ h    a ovo odgovara  y = k ∙ x, gde je k = a/2 pa su ove veličine direktno proporcionalne.

Domaći zadatak: 

1. Tačka A(-3, -2) je na rastojanju 10 jediničnih duži od tačke B. 

a)  Ako tačka B ima ordinatu 6, odredi joj apscisu.

b) Odredi koordinate središta duži AB.

školska zbirka: 12./106. ← za podsećanje formula i pažljivo proveravanje proporcionalnosti, 13./106., 18. b), g), 19./107., 12./108.