Primena jednačina i nejednačina

Uradićemo neke zanimljive zadatke iz vaše školske zbirke koji počinju na strani 185. U pitanju su problemski zadaci iz života. Da biste sastavili ove jednačine ili nejednačine, morate pažljivo čitati zadatke, potražiti šta vam predstavlja nepoznata u toj priči i po potrebi koristiti crtež, neku šemu, bilo šta što vam može pomoći da razumete problem o kojem se govori. Nemojte pokušavati odmah da sastavljate jednačine dok još niste skroz sigurni da ste razumeli problem. Zato je bitno zapisivati i analizirati podatke.

174./185. Milica je zamislila jedan broj, pa ga je uvećala 2,5 puta. Zatim je od tako dobijenog proizvoda oduzela 9,8 i dobila 7,7. Koji je broj Milica zamislila?

Ako sa x označimo broj koji je Milica zamislila i pratimo postupak, lako ćemo sastaviti jednačinu:

x ∙ 2,5 - 9,8 = 7,7

x ∙ 2,5 = 7,7 + 9,8

x ∙ 2,5 = 17,5

x = 17,5 : 2,5

x = 175 : 25

x = 7

Odogovor: Milica je zamislila broj 7.

179./185. Otac je 25 godina stariji od ćerke, a ćerkine godine čine 2/7 očevih godina. Koliko svako od njih ima godina?

Pošto ne znamo ni ćerkine ni očeve godine, uzmimo na primer da nam je broj očevih godina x. Ako ćerkine godine čine 2/7 očevih godina, to je onda lako da se zapiše jer znamo da se deo nečega piše uz pomoć množenja:

očeve godine - x

ćerkine godine - 2/7 ∙ x

Pošto se njihove godine razlikuju za 25, to mogu onda ovako da zapišem (očeve godine - ćerkine godine = 25):

x - 2/7 ∙ x = 25

I eto moje jednačine, sad samo treba da je rešim.

Razmišljamo: ako od čitavih očevih godina (jednih celih) oduzmem njihove 2/7, koliko mi ostane? Znam da je 

1 - 2/7 = 7/7 - 2/7 = 5/7

To onda mora da znači da je i       x - 2/7 ∙ x = 5/7 ∙ x   pa moja jednačina postaje:

5/7 ∙ x = 25

x = 25 : 5/7

x = 25/1 ∙ 7/5

x = 5/1 ∙ 7/1 = 35

Da pogledamo šta smo izračunali i proverimo: otac ima 35 godina, ćerka mora imati 25 manje, što je 10 a i zaista je 2/7 ∙ 35 = 10, pa nam se svi podaci slažu što znači da smo tačno uradili zadatak.

178. Putnik je prvog dana prešao 1/4 puta, drugog dana 3/8 puta, a trećeg dana preostalih 6 km. Koliko je prešao drugog dana?

Ovo je jedan zadatak kakvog često srećemo i treba zapisati šta se sve dešavalo po danima da bi nam bilo lakše.

Primetimo da ne znamo dužinu čitavog puta pa je najbolje da tu dužinu označimo sa x, lako ćemo kasnije izračunati šta se desilo drugog dana.

x - ukupna dužina puta u km

I dan: pređeno 1/4 ∙ x

II dan: još 3/8 ∙ x

III dan: preostalih 6 km

Vidimo da je putnik za tri dana prešao čitav put, x, što znači da ako saberem dužine pređenih delova puta za svaki dan, dobiću čitav put:

1/4 ∙ x + 3/8 ∙ x + 6 km = x

Isto kao što bih sabirala npr. i x + 2x = 3x, na isti način sabiram i kada umesto prirodnih brojeva imam razlomke, ali vodim računa da nikako sa tim ne saberem ovih 6 km jer je to baš put u kilometrima a ja ovde sabiram delove puta (sabiram koliko imam x):

1/4 ∙ x + 3/8 ∙ x + 6 km = x           - smemo da sabiramo samo izraze koji sadrže x, pa proširujem
2/8 ∙ x + 3/8 ∙ x + 6 km = x
5/8 ∙ x + 6 km = x                         - kako sada na 5/8 puta dodajem 6 km da bih dobila čitav put,
                                                        zaključujem da onda tih 6 km mora biti 3/8 puta ili ovako:
x - 5/8 ∙ x = 6 km
8/8 ∙ x - 5/8 ∙ x = 6 km
3/8 ∙ x = 6 km
x = 6 : 3/8
x = 6 ∙ 8/3
x = 16 km

Dakle, čitav put je dužine 16 km, to znači da je prvog dana pređeno 1/4 ∙ 16 = 4 km, drugog 3/8 ∙ 16 = 6 km i poslednjeg dana 6 km što u zbiru daje 4 + 6 + 6 = 16 km pa zaključujemo da smo tačno uradili zadatak.
Odgovor: Drugog dana je prešao 6 km.

Uradićemo još dva zadatka iz vaše šarene zbirke sa strane 117.

2. Đura želi da kupi plac oblika pravougaonika čija je širina 24 m. Kolika može da bude dužina placa, ako njegova površina mora biti veća od 4,5 a i manja od 18 a?

P = a ∙ b

Neka je širina b = 24 m. Znamo da 1 a = 100 m², pa je 4,5 a = 450 m² i 18 a = 1800 m². Kako P mora biti    4,5 a < P < 18 a, jednačina će glasiti:

450 < a ∙ 24 < 1800

Nejednačine ćemo razdvojiti na 450 < a ∙ 24  i a ∙ 24 < 1800 i rešiti odvojeno, pa ćemo videti kolika mora biti dužina placa.

450 < a ∙ 24         Pošto smo navikli da nam nepoznata bude sa leve strane, zameniću mesta, ali pazite,

                            širi kraj znala nejednakosti ostavljam okrenut ka a a uži kraj 450:

a ∙ 24 > 450

a > 450 : 24

a > 18,75 m

Rešavam i drugu:

a ∙ 24 < 1800

a < 1800 : 24

a < 75 m

Odgovor: Dužina placa može biti veća od 18,75 m (a > 18,75 m) i manja od 75 m (a < 75 m) tj.

18,75 m < a < 75 m.

5. Tri petine ukupnog broja učenika neke škole je manje od 555. Odredi broj učenika u toj školi ako u njoj ima 42 odeljenja i najmanje 22 učenika u svakom odeljenju.

x - ukupan broj učenika

3/5 ∙ x < 555

x < 555 : 3/5

x < 555 ∙ 5/3       (skratimo 555 i 3)

x < 185 ∙ 5

x < 925

Učenika ima manje od 925.

Ako u školi ima 42 odeljenja i najmanje 22 učenika u svakom odeljenju, onda ukupan broj učenika nije manji od 42 ∙ 22. ("nije manji" = ≥)

x ≥ 42 ∙ 22

x ≥ 924

Zaključak: Broj učenika nije manji od 924 i manji je od 925:  924 ≤ x < 925, dakle, učenika mora biti tačno 924.

Domaći zadatak: bar po 2 zadatka iz vaše šarene zbirke za domaće zadatke sa strana 115. i 117.