Površina i zapremina kupe - vežbe 2
Počinjemo sa zadatkom sa završnog ispita od pre par godina koji ste imali za domaći zadatak.
1. Od trećine kruga, čiji je obim 18𝜋 cm, napravljen je omotač jedne kupe. Kolika je zapremina te kupe?
Setimo se da veliki krug od kojeg nastaje omotač kupe ima za poluprečnik izvodnicu s.
2s𝜋 = 18𝜋 → s = 9 cm
M = s²𝜋/3 ← jer je omotač napravljen od trećine kruga
M = 81𝜋/3 = 27𝜋 cm²
ali je i M = rs𝜋
27𝜋 = r ∙ 9 ∙ 𝜋
r = 3 cm
H² = s² - r² = 9² - 3² = 81 - 9 = 72
H = √72 = 6√2 cm
V = BH/3
V = r²𝜋 ∙ H/3
V = 9 ∙ 6√2𝜋/3
V = 18√2𝜋 cm³
Dalje nastavljamo sa malo težim zadacima iz vaše zbirke sa strane 129.
39. Površina omotača kupe je 60𝜋 cm², a r : H = 3 : 4. Odredi površinu i zapreminu kupe.
M = 60𝜋 cm² ⇒ r ∙ s = 60 ⇒ s = 60/r
r : H = 3 : 4 ⇒ 4r = 3H ⇒ H = 4r/3
Sada smo iz jednog podatka izrazili H preko r i iz drugog s preko r, pokušaćemo da ubacimo dobijeno u Pitagorinu teoremu i da vidimo šta ćemo dobiti.
s² = H² + r²
3600/r² = 16r²/9 + r²
3600/r² = 16r²/9 + 9r²/9 = 25r²/9 /:25
144/r² = r²/9 /∙9
1296/r² = r² /∙r²
r⁴ = 1296
r ∙ r ∙ r ∙ r = 144 ∙ 9 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 ⇒ r = 6 cm ⇒ s = 10 cm i H = 8 cm
P = r²𝜋 + M = 36𝜋 + 60𝜋 = 96𝜋 cm²
V = 36 ∙ 8𝜋/3 = 96𝜋 cm³
35. Pravougli trougao čije su katete 9 cm i 12 cm rotira oko hipotenuze. Odredi površinu i zapreminu tako nastalog tela.
Bavimo se malo i složenijim telima koja nastaju rotacijom poznatih geometrijskih figura. Ona će u sebi imati na neki način valjak i kupu, bitno je samo lepo nacrtati pa ćete videti da li je telo nastalo od dve kupe, valjka i kupe ili je čak iz jednog tela izdubljeno drugo prepoznatljivo telo.
Da biste lakše zamislili i nacrtali ovo otvorite link i pogledajte upravo ovaj primer sa rotacijom oko hipotenuze. Pokrenite animaciju, a da bi vam trougao ostavljao trag i da biste videli telo koje nastaje otkačite obe katete sa leve strane. Skicirajte u sveskama.
Ovo telo je očigledno sastavljeno od dve kupe istih osnova kojima su i sastavljene. Površinu tela ćemo računati kao zbir površina omotača kupa (samo oni ograničavaju naše telo), a zapreminu kao zbir zapremina obe kupe (zamislite kako bi se presipanjem vode iz obe kupe popunilo telo).
Ako ovako označimo dužine na crtežu, onda je kod nas
s₁ = 9 cm, s₂ = 12 cm, hipotenuza će biti zbir visina i ona je (H₁ + H₂)² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 pa je
H₁ + H₂ = 15 cm.
Ako pažljivo pogledamo, poluprečnik osnove r je jednak visini pravouglog trougla koji odgovara hipotenuzi. Najlakše se ta visina određuje preko površine pravouglog trougla: P = ab/2 = ch/2 tj. kod nas, ako zanemarimo 2 u imeniocu sa obe strane:
s₁ ∙ s₂ = (H₁ + H₂) ∙ r
r = 9 ∙ 12/15 = 36/5 = 7,2 cm
Sada imamo dovoljno podataka za računanje površine tela:
P = M₁ + M₂ = r ∙ s₁𝜋 + r ∙ s₂𝜋 = (s₁ + s₂)∙r𝜋
P = (9 + 12)∙7,2𝜋 = 151,2𝜋 cm²
Zapreminu možemo na sličan način da ne bismo računali posebno H₁ i H₂ (mada možemo i to, iz malih pravouglih trouglova):
V = V₁ + V₂ = r²𝜋 ∙ H₁/3 + r²𝜋 ∙ H₂/3 = r²𝜋 ∙ (H₁ + H₂)/3
V = 51,84𝜋 ∙ 15/3 = 259,2𝜋 cm³
50. Jednakokraki trapez, osnovica 15 cm i 3 cm i visine 8 cm, rotira oko kraće osnovice. Odredi površinu i zapreminu nastalog tela.
Sa crteža vidimo da telo nastaje od valjka (duža osnovica opisuje omotač valjka) iz koga su izdubljene dve jednake kupe (čije omotače opisuju kraci trapeza). Visina valjka Hv je jednaka dužoj osnovici, poluprečnik valjka r je jednak visini trapeza. Visinu kupe Hk dobijamo kao polovinu razlike osnovica trapeza, dok je njena izvodnica jednaka kraku trapeza a poluprečnik kupe i valjka su jednaki:
Hv = 15 cm
r = 8 cm
Hk = (15 - 3):2 = 6 cm
s² = Hk² + r² = 6² + 8² = 100 ⇒ s = 10 cm
Naše složeno telo je ograničeno omotačem valjka i omotačima kupa:
P = Mv + 2 ∙ Mk
P = 2r𝜋 ∙ Hv + 2rs𝜋 = 16 ∙ 15𝜋 + 160𝜋 = 400𝜋 cm²
Pošto su iz valjka izdubljene dve kupe, tako ćemo i računati zapreminu:
V = Vv - 2 ∙ Vk
V = r²𝜋 ∙ Hv - 2 ∙ r²𝜋 ∙ Hk/3 = r²𝜋 ∙ (Hv - 2Hk/3)
V = 64𝜋 ∙ (15 - 12/3) = 64𝜋 ∙ 11 = 704𝜋 cm³
59. Izračunaj površinu i zapreminu kupe opisane oko pravilne šestostrane piramide, osnovne ivice 8 cm i visine 6 cm.
Visina piramide će biti jednaka visini kupe (skicirati!), izvodnice će im isto biti jednake dužine, a setimo se da je poluprečnik opisane kružnice kod pravilne šestostrane piramide jednak osnovnoj ivici:
Hk = 6 cm
r = a = 8 cm
s² = Hk² + r² = 36 + 64 = 100 ⇒ s = 10 cm
Pk = B + M = 64𝜋 + 80𝜋 = 144𝜋 cm²
Vk = B ∙ Hk/3 = 64𝜋 ∙ 6/3 = 128𝜋 cm³
Domaći zadatak: školska zbirka, strana 129. zadaci: 33, 36, 38, 49, 58.
Kao pomoć u 49. zadatku vam može poslužiti ova animacija.
Dalje nastavljamo sa malo težim zadacima iz vaše zbirke sa strane 129.
39. Površina omotača kupe je 60𝜋 cm², a r : H = 3 : 4. Odredi površinu i zapreminu kupe.
M = 60𝜋 cm² ⇒ r ∙ s = 60 ⇒ s = 60/r
r : H = 3 : 4 ⇒ 4r = 3H ⇒ H = 4r/3
Sada smo iz jednog podatka izrazili H preko r i iz drugog s preko r, pokušaćemo da ubacimo dobijeno u Pitagorinu teoremu i da vidimo šta ćemo dobiti.
s² = H² + r²
3600/r² = 16r²/9 + r²
3600/r² = 16r²/9 + 9r²/9 = 25r²/9 /:25
144/r² = r²/9 /∙9
1296/r² = r² /∙r²
r⁴ = 1296
r ∙ r ∙ r ∙ r = 144 ∙ 9 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 ⇒ r = 6 cm ⇒ s = 10 cm i H = 8 cm
P = r²𝜋 + M = 36𝜋 + 60𝜋 = 96𝜋 cm²
V = 36 ∙ 8𝜋/3 = 96𝜋 cm³
35. Pravougli trougao čije su katete 9 cm i 12 cm rotira oko hipotenuze. Odredi površinu i zapreminu tako nastalog tela.
Bavimo se malo i složenijim telima koja nastaju rotacijom poznatih geometrijskih figura. Ona će u sebi imati na neki način valjak i kupu, bitno je samo lepo nacrtati pa ćete videti da li je telo nastalo od dve kupe, valjka i kupe ili je čak iz jednog tela izdubljeno drugo prepoznatljivo telo.
Da biste lakše zamislili i nacrtali ovo otvorite link i pogledajte upravo ovaj primer sa rotacijom oko hipotenuze. Pokrenite animaciju, a da bi vam trougao ostavljao trag i da biste videli telo koje nastaje otkačite obe katete sa leve strane. Skicirajte u sveskama.
Ovo telo je očigledno sastavljeno od dve kupe istih osnova kojima su i sastavljene. Površinu tela ćemo računati kao zbir površina omotača kupa (samo oni ograničavaju naše telo), a zapreminu kao zbir zapremina obe kupe (zamislite kako bi se presipanjem vode iz obe kupe popunilo telo).
Ako ovako označimo dužine na crtežu, onda je kod nas
s₁ = 9 cm, s₂ = 12 cm, hipotenuza će biti zbir visina i ona je (H₁ + H₂)² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 pa je
H₁ + H₂ = 15 cm.
Ako pažljivo pogledamo, poluprečnik osnove r je jednak visini pravouglog trougla koji odgovara hipotenuzi. Najlakše se ta visina određuje preko površine pravouglog trougla: P = ab/2 = ch/2 tj. kod nas, ako zanemarimo 2 u imeniocu sa obe strane:
s₁ ∙ s₂ = (H₁ + H₂) ∙ r
r = 9 ∙ 12/15 = 36/5 = 7,2 cm
Sada imamo dovoljno podataka za računanje površine tela:
P = M₁ + M₂ = r ∙ s₁𝜋 + r ∙ s₂𝜋 = (s₁ + s₂)∙r𝜋
P = (9 + 12)∙7,2𝜋 = 151,2𝜋 cm²
Zapreminu možemo na sličan način da ne bismo računali posebno H₁ i H₂ (mada možemo i to, iz malih pravouglih trouglova):
V = V₁ + V₂ = r²𝜋 ∙ H₁/3 + r²𝜋 ∙ H₂/3 = r²𝜋 ∙ (H₁ + H₂)/3
V = 51,84𝜋 ∙ 15/3 = 259,2𝜋 cm³
50. Jednakokraki trapez, osnovica 15 cm i 3 cm i visine 8 cm, rotira oko kraće osnovice. Odredi površinu i zapreminu nastalog tela.
Hv = 15 cm
r = 8 cm
Hk = (15 - 3):2 = 6 cm
s² = Hk² + r² = 6² + 8² = 100 ⇒ s = 10 cm
Naše složeno telo je ograničeno omotačem valjka i omotačima kupa:
P = Mv + 2 ∙ Mk
P = 2r𝜋 ∙ Hv + 2rs𝜋 = 16 ∙ 15𝜋 + 160𝜋 = 400𝜋 cm²
Pošto su iz valjka izdubljene dve kupe, tako ćemo i računati zapreminu:
V = Vv - 2 ∙ Vk
V = r²𝜋 ∙ Hv - 2 ∙ r²𝜋 ∙ Hk/3 = r²𝜋 ∙ (Hv - 2Hk/3)
V = 64𝜋 ∙ (15 - 12/3) = 64𝜋 ∙ 11 = 704𝜋 cm³
59. Izračunaj površinu i zapreminu kupe opisane oko pravilne šestostrane piramide, osnovne ivice 8 cm i visine 6 cm.
Visina piramide će biti jednaka visini kupe (skicirati!), izvodnice će im isto biti jednake dužine, a setimo se da je poluprečnik opisane kružnice kod pravilne šestostrane piramide jednak osnovnoj ivici:
Hk = 6 cm
r = a = 8 cm
s² = Hk² + r² = 36 + 64 = 100 ⇒ s = 10 cm
Pk = B + M = 64𝜋 + 80𝜋 = 144𝜋 cm²
Vk = B ∙ Hk/3 = 64𝜋 ∙ 6/3 = 128𝜋 cm³
Domaći zadatak: školska zbirka, strana 129. zadaci: 33, 36, 38, 49, 58.
Kao pomoć u 49. zadatku vam može poslužiti ova animacija.
Comments
Post a Comment