Uglovi sa paralelnim kracima

Poslednja lekcija iz oblasti Ugao je Uglovi sa paralelnim kracima. Videćete da već sve znate što bi vam bilo potrebno da biste je savladali a strana iz udžbenika na kojoj se nalazi je 116. Pa da krenemo!

Nacrtajte dve paralelne prave c i d kao na slici (uz pomoć dva trougla!). A zatim i jednu njihovu transverzalu a i još jednu njoj paralelnu b.

Šta uočavamo? Kada smo do sada crtali jednu transverzalu, imali smo dva "čvora" koja su bila temena 8 uglova a sada takvih "čvorova" ima 4 koja prave 16 konveksnih uglova. Da li znamo koji će biti jednaki među sobom?

Nije teško primetiti da ćemo opet imati samo dve različite mere za svih 16 uglova i da će važiti:

𝛼₁ = 𝛼₂ = 𝛼₃ = 𝛼₄ = 𝛾₁ = 𝛾₂ = 𝛾₃ = 𝛾₄   i   𝛽₁ = 𝛽₂ = 𝛽₃ = 𝛽₄ = 𝛿₁ = 𝛿₂ = 𝛿₃ = 𝛿₄

Označite sve oštre jednake uglove jednom bojom (crvenom), a drugom ostale tupe jednake među sobom (plavom). Izaberite jedan crveni i jedan plavi ugao. Kakvi su oni? Koje god da ste izabrali oni će uvek biti suplementni, uvek će u zbiru dati opružen ugao.
Dakle, ako izaberete bilo koja dva konveksna ugla od ovih 16, oni će biti ili jednaki ili suplementni. Ali šta svi oni imaju zajedničko? Svi su oni sa paralelnim kracima. Kako?
Pogledajte na primer ugao 𝛼₂ i ugao 𝛿₃: prvom se jedan krak nalazi na pravoj d koja je paralelna sa pravom c na kojoj se nalazi jedan krak drugog ugla a drugi krak od 𝛼₂ se nalazi na pravoj a koja je paralelna sa b na kojoj se nalazi drugi krak ugla 𝛿₃. Isto će važiti na primer i za 𝛼₂ i 𝛾₄ s tim što su ta dva ugla i jednaka a 𝛼₂ i 𝛿₃ su bila dva suplementna ugla.
Zaključujemo:
Konveksni uglovi sa paralelnim kracima jednaki su ili suplementni.
Ako su oba oštra ili oba tupa, tada su jednaki, a ako je jedan oštar i drugi tup, tada su suplementni.

Primer
Razlika dva ugla sa paralelnim kracima je 2°. Odredi veličine tih uglova.

Kako su uglovi sa paralelnim kracima jednaki ili suplementni, zaključujemo da ovi sigurno nisu jednaki jer se razlikuju za 2° pa su suplementni. Dakle, 𝛼 + 𝛽 = 180° i neka je 𝛼 recimo tada veće za 2°. Sledi 𝛼 = 𝛽 + 2° i kada to ubacimo u gornji podatak, dobijamo 𝛽 + 2° + 𝛽 = 180°,
2𝛽 + 2° = 180°, 2𝛽 = 178° i konačno 𝛽 = 89° a tada je 𝛼 = 91°.

Na sličan način uradi i zadatak 167. iz zbirke sa strane 111.

Kako su uglovi kod paralelograma svi sa paralelnim kracima zbog osobine same figure, nacrtaj jedan i uoči i zapiši osobine njegovih uglova sa ovog prikaza. Umesto prideva susedni za uglove, koristi bolje uzastopni. To su ovde uglovi ∡A i ∡B npr.

Primer

Odredi uglove paralelograma ako je jedan njegov ugao 101°.

Rešenje: 

Pokušaj da uradiš i zadatak 166. iz zbirke.

Primer

Odredi veličinu ugla 𝜑 na slici.

Vidimo da je 𝛿 = 107°, to znači da je i 𝛽 = 107° a 𝛼 i 𝛾 su im suplementni pa je 𝛼 = 𝛾 = 180° - 107° = 73°. ∡BAC = ∡ACD = 21° jer su sa paralelnim kracima i oba su oštra, a kako je 𝛾 = 𝜑 + ∡ACD sledi da je 𝜑 = 73° - 21° = 52°.

Domaći: pored već zadatih zadataka iz zbirke uradite i 169. i iz 172. primere od 3) do 6). Obavezno 3), 4) i 5) a nadam se da ćete umeti i 6). Želim da vidim rešenja tih zadataka pa mi ih pošaljite 😏 Ako bude bilo problema sa primerom 6) kod većine, uradiću vam ga i dodati ovde. Slobodno skicirajte, obeležavajte bojama, sve što će vam pomoći da uradite. Srećno! 🙋

P.S. U narednom postu ću vam ostaviti zanimljiv zadatak, pa ko želi i može da ga odštampa (tako je lakše), neka ga uradi.