Centralni i periferijski ugao kruga - vežbe

Danas ćemo uraditi još par zadataka koji se tiču prethodne lekcije. Da biste umeli da ih uradite, podsetite se novih stvari koje ste juče naučili.

1. Izračunaj mere uglova 𝛼, 𝛽, 𝛾 i 𝛿 sa slike. Pokušaj prvo samostalno!

Rešenje: Jedini ugao koji vam je zadat je ugao ADC od 70°. Prave p(A, D) i p(C, D) su tangente na ovaj krug i one ga dodiruju u tačkama A i C. Setite se da u tačkama dodira poluprečnici kruga i tangente formiraju prave uglove pa je ∡OCD = ∡OAD = 90°. Sva ta tri ugla sa uglom 𝛼 čine uglove deltoida AOCD na osnovu čega ćete odrediti meru ugla 𝛼. Zatim treba da uočite da je ugao 𝛼 centralni ugao i da je nad kružnim lukom nad kojim je i periferni 𝛽. Uglovi 𝛽 i 𝛾 su periferni nad istom tetivom AC ali sa njenih suprotnih strana. Te čunjenice će vam dati veze između tih uglova (pogledati prošlu lekciju). Duži AO i OC su poluprečnici našeg kruga pa su uglovi 𝛼 i 𝛿 uglovi jednakokrakog trougla AOC a znate i šta važi onda za te uglove. Izračunajte ih i proverite rešenje u zbirci (str. 129, zad. 12.)

2. Nacrtaj kružnicu k (O, 3 cm) i podeli je na a) 3 jednaka dela b) 8 jednakih delova. Koji centralni ugao odgovara jednom tom delu (najmanjem kružnom luku)? Koliki periferijski ugao odgovara tom kružnom luku?

Ako kružnicu podelite na 3 jednaka dela, svaki taj mali kružni luk čini ⅓ kružnice pa i centralni ugao čini ⅓ punog ugla, što znači: 

Na osnovu toga sami uradite b).

3. Odredi centralni i periferijski ugao nad manjim lukom određen tetivom koja deli kružnicu na dva dela koja se odnose kao 3:5.

Kako se to kružnica deli na dva dela koja su u razmeri 3:5? Nije toliko komplikovano koliko zvuči. To znači da vašu kružnicu u stvari delite na 3 + 5 = 8 jednakih delova a ta dva dela iz teksta zadatka na koja vam kružnicu deli tetiva u stvari sadrže 3 odnosno drugi deo sadrži 5 tih malih delova na koje ste prvobitno podelili kružnicu. Slikovito:

Dakle, svaki od najmanjih uglova ima po 360° : 8 = 45°, a naš traženi centralni ugao koji u stvari čini 3/8 kružnice ima (360° : 8) ∙ 3 = 135° a odgovarajući periferijski ima 135° : 2 = 67° 30'. Nekonveksni centralni ugao (zeleni) na slici ima (360° : 8) ∙ 5 = 225°.

4. Oko trougla ABC je opisana kružnica. Centralni uglovi nad stranicama a, b i c su 93°, 162° i 105°. Izračunaj uglove ovog trougla.

Nacrtajte. Jedna od ideja može biti da uočite jednakokrake trouglove na slici. Lako ćete odrediti tražene uglove. Ili da posmatrate te centralne uglove. Imaju li oni periferijske?

Zadaci koji vam ostaju za samostalan rad, koje ćete raditi na osnovu ovih (dobili ste ideje) su:

iz zbirke, strana 129. zadaci: 12. a), b), 14, 15, 18, 19, 20.

Pronađite i odgovarajuću lekciju iz zbirke za domaći. Pitanja znate gde da uputite!