Rešavanje jednačina oblika A*B = 0
Kada smo već naučili da rastavljamo polinome na činioce, sada ćemo da vidimo i jednu primenu toga. Gde se može koristiti? Rastavljanje može da pojednostavi rešavanje kvadratnih jednačina, jednačina trećeg i viših stepena. To su jednačine za koje ćete učiti posebne načine rešavanja u srednjoj školi a koje sadrže x², x³...
Koji je postupak?
Ako imamo polinom P(x) koji je jednak nuli (dakle, jednačinu po nepoznatoj x oblika P(x)=0) i rastavimo taj naš polinom na činioce, dva ili više, npr. A(x)*B(x)=0, treba samo da se zapitamo kada će sad taj naš proizvod (i bilo koji drugi) biti jednak nuli. Kada je proizvod jednak nuli? Kada je jedan od činilaca jednak nuli. Dakle, naša jednačina A(x)*B(x)=0 se transformisala u dve manje: A(x)=0 ili B(x)=0. Na taj način dobijamo jednostavnije jednačine koje ćemo moći da rešimo a rešenja polazne jednačine, P(x)=0, su SVA rešenja dobijenih krajnjih, manjih A(x)=0, B(x)=0.
Šta još treba da znamo? Ako je jednačina drugog stepena (sadrži x²) očekujemo dva rešenja, ako je jednačina trećeg stepena, očekujemo tri rešenja itd.
Primer 1
a) 7x² - 14x = 0 - polinom ne odgovara nijednoj formuli, "izvlačimo" zajedničke činioce ispred zagrade (koristimo distributivnost)
7x (x-2) = 0
⇒ 7x = 0 ili x - 2 = 0
x = 0:7 ili x = 0 + 2
x₁ = 0, x₂ = 2
x∈❴0, 2❵
b) 6x³ - 8x² = 0
2x² (3x - 4) = 0
2x² = 0 ili 3x - 4 = 0
x₁ = 0, x₂ = 4/3
x∈❴0, 4/3❵
1. Reši jednačine:
a) 25x² + 100x = 0 b) 2x² - 5x = 0 v) 4x - 3x² = 0 g) 3x - 5x² = 0
Primer 2
Postupak je isti i kada rastavimo polinom upotrebom formule za razliku kvadrata.
a) x² - 9 = 0
(x - 3)(x + 3) = 0
⇒ x - 3 = 0 ili x + 3 = 0
x₁ = 3, x₂ = -3
x∈❴3, -3❵
Jednačine kod kojih polinom nije jednak nuli se, naravno, mogu pretvoriti u takve, ne dajte se zbuniti.
b) 4x² = 49 /-49 /i levoj i desnoj strani jednačine dodajemo -49, neće se narušiti jednakost
4x² - 49 = 0
(2x - 7)(2x + 7) = 0
⇒ 2x - 7 = 0 ili 2x + 7 = 0
2x = 7, 2x = -7
x₁ = 7/2, x₂ = -7/2
x∈❴7/2, -7/2❵
2. Reši jednačine:
a) x² - 25 = 0 b) 16 - x² = 0 v) 81y² - 1 = 0 g) 36y² - 121 = 0
Primer 3
Nekad možemo iskoristiti i poneki trik, ali se često ni koreni ne mogu izbeći.
a) (1/8)*x² = 8 /*8
x² = 64
x² - 64 = 0
(x - 8)(x + 8) = 0 ⇒ x∈❴8, -8❵
b) 5x² = 12 /-12
5x² - 12 = 0
(√5x - √12)(√5x + √12) = 0
(√5x - 2√3)(√5x + 2√3) = 0
⇒ √5x - 2√3 = 0 ili √5x + 2√3 = 0
√5x = 2√3, √5x = -2√3
x₁ = (2√3)/√5, x₂ = -(2√3)/√5 ne zaboraviti na racionalisanje: (√3)/√5 = (√15)/5
x∈❴(2√15)/5, -(2√15)/5❵
3. Reši jednačine:
a) (1/7)*x² = 7 b) (3/4)*x² = 4/3 v) x² - 15 = 0 g) 16x² - 3 = 0
d) 4x² - 5 = 0 dj) 2y² = 9
4. Reši jednačine:
a) 8x² - 1 = 0 b) (x - 1)² - 4 = 0 v) (x + 1)² - 25 = 0 g) (x + 3)² - x² = 0
d) (2x + 1)² - (x - 2)² = 0 ← paziti na zagrade! Dobiće se još jedne unutar većih!
Primer 4
Kombinacija više načina rastavljanja i kvadrat binoma...
a) 2x³ - 32x = 0
2x (x² - 16) = 0
2x (x - 4)(x + 4) = 0
⇒ 2x = 0 ili x - 4 = 0 ili x + 4 = 0
x₁ = 0, x₂ = 4, x₃ = -4
x∈❴0, 4, -4❵
b) x² + 10x + 25 = 0
(x + 5)² = 0
x + 5 = 0
x = -5
v) 27a³ + 18a² + 3a = 0
3a (9a² + 6a + 1) = 0
3a (3a + 1)² = 0
⇒ 3a = 0 ili 3a + 1 = 0
x∈❴0, - 1/3❵
5. Reši jednačine:
a) 8x² - 200 = 0 b) 45x² - 20 = 0 v) x³ - 49x = 0 g) 49x - 4x³ = 0
d) 27x - 48x³ = 0
6. Reši jednačine:
a) y² - 6y + 9 = 0 b) x² - 12x + 36 = 0 v) a² + 4a + 4 = 0 g) 1 - 8x + 16x² = 0
d) 4x² + 20x + 25 = 0 dj) 36 - 96x + 64x² = 0 e) 8x² + 16x + 8 = 0
Svi zadaci su iz zbirke za sedmi razred osnovne škole izdavačke kuće Klett koju mi koristimo
str. 63. - 65. zadaci: 3, 13 - 16, 21.
Posle ovih zadataka uraditi odgovarajuće lekcije iz zbirke za domaće zadatke.
Jedna od lekcija sa YouTube-a koja vam može pomoći:
Jedna od lekcija sa YouTube-a koja vam može pomoći:
Comments
Post a Comment