Obim kruga

Šta je obim? 

Najjednostavnije rečeno obim neke figure predstavlja dužinu linije koja ograničava datu figuru. Kod mnogouglova bismo rekli da je obim zbir dužina stranica. Lako ih izmerimo lenjirom i saberemo.  Kod kruga to bas nije tako jednostavno, ne možemo koristiti lenjir da bismo izmerili dužinu kružnice. Jedino što možemo meriti lenjirom kod kruga je njegov prečnik ili poluprečnik. Iz tog razloga, predlažem jedan eksperiment.

Pronađite oko sebe što više predmeta kružnog ili valjkastog oblika i izmerite im obim i prečnik a podatke unesite u ovakvu tabelu. Da biste izmerili obim, koristite krojački metar ili kanap koji ćete obmotati oko tela i tu dužinu izmeriti običnim lenjirom. Budite što precizniji.

Kada ste to uradili, popunite i poslednju vrstu u kojoj ćete upisivati broj koji ste dobili deljenjem obima figure sa njenim prečnikom. Šta uočavate?

Ako ste dovoljno dobro merili, treba svuda da dobijete približno isti broj, nešto veći od 3 (3,1; 3,2..). To ću uvek biti tako, kod svakog kruga. Broj koji dobijete kao odnos obima i prečnika kruga zove se 𝜋. Taj broj je vrlo bitna konstanta koja se često koristi. Zašto ima poseban naziv? Zato što ga nikad ne možemo tačno napisati, on je iracionalan broj, ima beskonačan neperiodičan decimalni zapis.

Počinje ovako 𝜋 = 3,14159265358979323846....

Kao što √2 ima svoju geometrijsku interpretaciju kao dijagonala kvadrata stranice 1, tako i 𝜋 predstavlja odnos obima i prečnika SVAKOG kruga.

𝜋 = O / 2r

Često koristimo njegovu približnu vrednost  𝜋 ≈ 3,14 ali to je samo upravo to, približna vrednost. I ne koristimo je u zadacima sem ako nije to traženo od nas.

Zato je formula za obim kruga vrlo jednostavna 

O = 2r𝜋

Arhimed je upisujući kružnicu u mnogougao sa 96 strana procenio 𝜋 kao 223/71 < 𝜋 < 22/7. Zbog toga je još jedna od približnih vrednosti koja se često koristi 𝜋 ≈ 22 / 7.

Jedna od zanimljivosti je i da je upravo zbog ovog broja 14. mart proglašen za Međunarodni dan matematike od strane UNESCO-a. Pogledajte kako su u ovom snimku odlučili da izvedu eksperiment sličan ovom koji sam ja vama zadala samo koristeći pite, simbolično, jer se na engleskom 𝜋 izgovara isto kao pie = pita.

Još jedan snimak pa se vraćamo na lekciju. Poslušajte priču o ovom broju ali prvo podesite prevod na srpski.

Kako ćemo da računamo sa tim brojem? Posmatrajte ga kao monom pa računate kao i sa bilo kojim drugim. Npr. ne možemo da saberemo 𝜋 + 2, ali možemo 2𝜋 + 3𝜋 = 5𝜋. Isto tako, 6𝜋 ∙ 3 = 18𝜋, a 6𝜋/2 = 3𝜋.

Primer

Izračunaj obim kruga čiji je poluprečnik: a) r = 5 cm,    b) r = 1,7 cm,   v) r = 3/4 cm,   g) r = 1/𝜋 cm.

a) O = 2r𝜋             b) O = 2r𝜋                v) O = 2r𝜋               g) O = 2r𝜋

    O = 2∙5∙𝜋               O = 2∙1,7∙𝜋              O = 2∙(3/4)∙𝜋            O = 2∙(1/𝜋)∙𝜋

    O = 10𝜋 cm           O = 3,4𝜋 cm            O = 3𝜋/2 cm             O = 2 cm

Da sam zadala da iskoristimo 𝜋 ≈ 3,14 tek bismo tada pisali:

    O = 31,4 cm           O = 10,676 cm        O = 4,71 cm

U primeru g) su nam se skratili 𝜋 iz brojioca i imenioca.

1. Izračunaj poluprečnik kruga ako je njegov obim: a) O = 8𝜋,  b) O = 3,5𝜋,   v) O = 4½𝜋,  g) O = 𝜋²

2. Ako je poluprečnik jednog kruga za 3 cm manji od poluprečnika drugog kruga čiji je obim 24𝜋 cm, izračunaj obim manjeg kruga.

Zadaci koje još treba da uradite su iz zbirke sa strane 131.: 9, 11, 12, 13, 14. Zadaci su logički, razmišljajte, nije teško. Obratite pažnju da li vam je zadat poluprečnik ili prečnik, tu ćete najviše grešiti.