Krug; centralni i periferijski ugao kruga
Krug i njegove delove smo pominjali još u petom razredu. Podsetimo se!
U ravni postoji beskonačno mnogo tačaka koje su jednako udaljene od jedne utvrđene tačke te ravni. Sve tačke ravni koje su jednako udaljene od utvrđene tačke čine kružnicu ili kružnu liniju. Utvrđenu tačku nazivamo centar kružnice. Bilo koju duž čije su krajnje tačke centar i neka tačka kružnice nazivamo poluprečnik.
Kako tačke na jednakoj udaljenosti od jedne zadate čine kružnicu možete pogledati ovde.
Kružnicu sa centrom O i poluprečnikom r označavamo k (O, r), gde poluprečnik može biti zadat nekom duži, mernom jedinicom...
Krug je skup svih tačaka neke kružnice i svih njenih unutrašnjih tačaka. Krug označavamo K (O, r).
Podsetimo se i osnovnih položaja koje prava može da zauzme prema kružnici i krugu i kako se te prave i njeni delovi nazivaju.
Pominjali smo i centralni ugao u petom razredu koji je današnja tema.
Centralni ugao kruga je ugao čije je teme centar kruga a kraci sadrže poluprečnike.
Svakom centralnom uglu odgovara jedna tetiva datog kruga i jedan kružni luk.
Sa dve tačke kružnice A i B su određena dva centralna ugla i dva kružna luka: konveksan i nekonveksan.
Svaki od ovih centralnih uglova su nad dva suprotna kružna luka ali im je tetiva AB zajednička: konveksan ugao je nad kraćim kružnim lukom a nekonveksan nad dužim.
Periferijski ugao kruga je konveksan ugao čije teme pripada kružnici (negde je na periferiji, nije u centru kao kod centralnog) a kraci sadrže tetive tog kruga.
Svakom periferijskom uglu odgovara jedan centralni ugao nad istim lukom što znači da ovom našem uglu 𝛃 odgovara manji kružni luk (koji ne sadrži N) i nad njim postoji samo jedan centralni ugao ∡BCA.
Ono što je najbitnije u ovoj lekciji ćemo formulisati narednim tvrđenjem.
Jednom kružnom luku odgovara tačno jedan centralni ugao a beskonačno mnogo periferijskih uglova koji su svi jednaki među sobom.
Centralni ugao kruga je dva puta veći od periferijskog ugla nad istim kružnim lukom.
I vrlo je važno da vodite računa da zaista izaberete centralni i periferijski koji su nad istim lukom kao ovde na slici, i 𝞪 i 𝞫 su nad manjim, konveksnim, rozim kružnim lukom.
To tvrđenje možete lepo videti na ovom linku gde možete menjati jedan ugao, a automatski menjate i veličinu drugog ugla zbog prethodno navedenog zakona.
Kada bih vam sad predložila da se takmičimo ko će precizno nacrtati najviše pravih uglova za kratko vreme, da li biste pristali?
Razmislite! Da li bismo u te svrhe mogli da iskoristimo prethodno naučeno? Ako izaberete da vam centralni ugao ima 90⁰, to bi onda značilo da periferijski nad istim kružnim lukom ima 45⁰, što i nije baš pogodno... Ali! Ako mi je periferijski od 90⁰, to znači da je nad istim kružnim lukom centralni od 180⁰ što je sjajno jer znamo koliko se opružen ugao lako crta.
Dakle, koju god da izaberem tačku sa polukružnice i spojim je sa krajevima prečnika, uvek dobijem prav ugao.
Periferijski ugao nad prečnikom je prav.
Pomerajte tačku C ovde i uverićete se.
1. Odredi mere naznačenih uglova sa slika:
a) b) v)
(Klett, zbirka, strana 128. zadatak 4.)
Primer 1
Odredimo veličinu ugla 𝛾 sa slike.
3. Zbir centralnog i periferijskog ugla nad istim kružnim lukom je: a) 78⁰, b) 100⁰. Izračunaj mere tih uglova.
Zapiši matematički podatak iz zadatka i iskoristi činjenicu o centralnom i periferijskom uglu nad istim kružnim lukom. Dobićeš jednačinu koju ćeš lako rešiti.
4. Duž AB je tetiva centralnog ugla čija je mera 68⁰ 34'. Pod kojim uglom se vidi ova tetiva iz tačke C koja pripada kružnici?
Skiciraj. Izaberi tačku C na kružnici, zamisli da stojiš u njoj i da gledaš odatle tačku A i tačku B. Koji ugao zahvata tvoj pogled? Nije li to periferni ugao?
5. Poluprečnik kruga je 4 cm. Odredi dužinu tetive koja odgovara periferijskom uglu čija je mera 90⁰.
Pogledaj još jednom šta smo sve naučili u ovoj lekciji!
6. U četvorouglu ABCD je 𝛼 = 48⁰ i 𝛽 = 107⁰. Odredi sve uglove ovog četvorougla ako se oko njega može opisati kružnica.
Kakav je to četvorougao ABCD?
Provežbajte zadatke iz zbirke za domaći iz ove lekcije. Sutra ću staviti još neke zadatke i objašnjenja koja će možda razjasniti nešto što niste znali da uradite. Svakako možete i da mi postavite neko pitanje! 😏
Jednom kružnom luku odgovara tačno jedan centralni ugao a beskonačno mnogo periferijskih uglova koji su svi jednaki među sobom.
To tvrđenje možete lepo videti na ovom linku gde možete menjati jedan ugao, a automatski menjate i veličinu drugog ugla zbog prethodno navedenog zakona.
Kada bih vam sad predložila da se takmičimo ko će precizno nacrtati najviše pravih uglova za kratko vreme, da li biste pristali?
Razmislite! Da li bismo u te svrhe mogli da iskoristimo prethodno naučeno? Ako izaberete da vam centralni ugao ima 90⁰, to bi onda značilo da periferijski nad istim kružnim lukom ima 45⁰, što i nije baš pogodno... Ali! Ako mi je periferijski od 90⁰, to znači da je nad istim kružnim lukom centralni od 180⁰ što je sjajno jer znamo koliko se opružen ugao lako crta.
Dakle, koju god da izaberem tačku sa polukružnice i spojim je sa krajevima prečnika, uvek dobijem prav ugao.
Pomerajte tačku C ovde i uverićete se.
1. Odredi mere naznačenih uglova sa slika:
a) b) v)
(Klett, zbirka, strana 128. zadatak 4.)
Primer 1
Odredimo veličinu ugla 𝛾 sa slike.
Primetimo da je 𝛾 periferijski a ugao od 110⁰ centralni i da imaju zajedničku tetivu ali nisu nad istim kružnim lukovima već nad suprotnim: 𝛾 je nad većim a 110⁰ nad manjim. Iz tog razloga će uglu 𝛾 odgovarati centralni ugao 360⁰ - 110⁰ = 250⁰ pa je 𝛾 = 250⁰ : 2 = 125⁰, a periferijski koji odgovara uglu 110⁰ je ugao 55⁰.
Primetimo da dva periferijska ugla sa različitih strana jedne tetive daju u zbiru 180⁰. I to će uvek biti tako. Kod nas su to uglovi ABC od 125⁰ i ADC od 55⁰. Četvorougao ABCD se naziva tetivni četvorougao jer se oko njega može opisati kružnica i za njega uvek važi da su naspramni uglovi suplementni (daju zbir od 180⁰).
2. Odredi mere naznačenih uglova sa slika:
a) b) v)
3. Zbir centralnog i periferijskog ugla nad istim kružnim lukom je: a) 78⁰, b) 100⁰. Izračunaj mere tih uglova.
Zapiši matematički podatak iz zadatka i iskoristi činjenicu o centralnom i periferijskom uglu nad istim kružnim lukom. Dobićeš jednačinu koju ćeš lako rešiti.
4. Duž AB je tetiva centralnog ugla čija je mera 68⁰ 34'. Pod kojim uglom se vidi ova tetiva iz tačke C koja pripada kružnici?
Skiciraj. Izaberi tačku C na kružnici, zamisli da stojiš u njoj i da gledaš odatle tačku A i tačku B. Koji ugao zahvata tvoj pogled? Nije li to periferni ugao?
5. Poluprečnik kruga je 4 cm. Odredi dužinu tetive koja odgovara periferijskom uglu čija je mera 90⁰.
Pogledaj još jednom šta smo sve naučili u ovoj lekciji!
6. U četvorouglu ABCD je 𝛼 = 48⁰ i 𝛽 = 107⁰. Odredi sve uglove ovog četvorougla ako se oko njega može opisati kružnica.
Kakav je to četvorougao ABCD?
Provežbajte zadatke iz zbirke za domaći iz ove lekcije. Sutra ću staviti još neke zadatke i objašnjenja koja će možda razjasniti nešto što niste znali da uradite. Svakako možete i da mi postavite neko pitanje! 😏
Comments
Post a Comment