Ekvivalentni sistemi i metoda zamene

Pogledajte današnju video lekciju na ovom linku ako želite. U pitanju je ponavljanje rešavanja sistema grafičkom metodom.

Ekvivalentni sistemi

Setite se kako smo rešavali linearnu jednačinu u prvom polugodištu. Rekli smo da pravimo jednačine koje su ekvivalentne početnoj koristeći neka pravila i time menjamo izgled jednačine ali ne narušavamo njeno rešenje, samo je činimo jednostavnijom. Ekvivalentne jednačine su one koje imaju isto rešenje, koje se mogu dovesti nekim transformacijama na iste oblike a te transformacije ne smeju da naruše to rešenje. Koje su to transformacije, šta smo to smeli da radimo i što nam je pomoglo da rešimo tu jednačinu?

• smeli smo da dodajemo i levoj i desnoj strani jednačine isti broj (monom)

-2x + 3 = 6x - 7      /-3

-2x = 6x - 10     /-6x

-8x = -10

• smeli smo da množimo i delimo levu i desnu stranu istim brojem

-8x = -10   /: (-8)

x = 10/8 = 5/4

Na jednačinama u okviru naših sistema ćemo smeti, naravno, da primenjujemo oba ova pravila ali ćemo smeti i da:

• menjamo redosled jednačina u sistemu

složićemo se da je isto ako napišemo     2x + 6y = 7                i                 -4x + y = 3

                                                                     -4x + y = 3                                  2x + 6y = 7 

• saberemo obe jednačine i jednu zamenimo tim zbirom

pokazaću na istom primeru a nešto kasnije ćemo se pozabaviti ovim pravilom. To se radi tako što se prva jednačina prepiše a umesto druge jednačine se piše zbir koji se dobije kada se saberu leve strane jednačina ( x sa x, y sa y) i saberu se desne strane, između ostaje =. Naravno, pazimo da nam je sistem "lepo" zapisan u sređenom obliku: sa leve strane su x-evi jedan ispod drugog kao i y-oni jedan ispod drugog, a sa desne strane jednakosti su brojevi.

Ovde je to pokazano dva puta.

Dakle, sva ova tri sistema su međusobno ekvivalentna. To mogu da proverim i zamenom rešenja u sva tri ali ću sad to preskočiti jer ste već videli kako se to radi.

Nije mi zanimljivo da baratam rešenjima koja mi neko drugi kaže, zato ćemo da naučimo prvi računski  način za rešavanje jer nam očitavanje i ispravnost rešenja kod grafičke metode zavisi od preciznosti prilikom crtanja..

                                    Rešavanje sistema metodom zamene

Metodu zamene radimo prvu jer nam je nekako najprirodnija, već sam je u stvari koristila u prethodnoj lekciji u zadatku sa Milanom, Sofijom i bombonama. Cilj svake metode je eliminisati jednu promenljivu iz jedne jednačine da biste dobili običnu linearnu sa jednom nepoznatom koju umete da rešite.

Postupak je sledeći: 

1. Izaberete jednačinu iz koje želite da izrazite promenljivu i to i uradite. Obično birate onu, x ili y, uz koju ne stoji koeficijent tj. čiji je koeficijent 1 ili -1 (imate + x, - x ili + y, - y).
2. U drugoj jednačini zamenite tu promenljivu izrazom kojim je izražena, podvučete sistem.
3. Prepišete jednačinu sa izraženom promenljivom a rešavate drugu jednačinu koja vam sad sadrži samo jednu nepoznatu.
4. Kada ste iz druge jednačine dobili nepoznatu, tu vrednost zamenite na odgovarajuće mesto u prvu jednačinu, izračunate i dobićete rešenje sistema.

Pokazaću vam na primeru zadatka iz vaše zbirke, strana 108. zadatak 2. d).

1.

Jednačine mogu i da vam deluju komplikovane ali se setite trikova koje smo naučili kod jednačina. Hajde da rešimo i 3. pod g).

2.

Za sutra nemate domaći jer ćemo ponavljati za pismeni pa pokušajte već da radite zadatke iz lekcije za pripremu. Link ka njoj imate na stranici Matematika 8 gde su vam i linkovi ka svim ostalim lekcijama.