Rešavanje sistema dve linearne jednačine sa dve nepoznate metodom suprotnih koeficijenata

Ako vam se čini da kod metode zamene ima previše posla ili ponekad da vam nastane zbrka (najčešće zbog razlomaka), možete korisiti metodu suprotnih koeficijenata koja zaista nekad učini rešavanje sistema lakšim, naravno, u zavisnosti od primera. Jedna metoda je pogodna za jedne sisteme, druga će biti pogodnija za druge i naučićemo kad je bolje koristiti koju. Vežbom ćete to sami uočavati.

Kod ove metode je najbolje da rešavanje počnete od toga da proverite da li su jednačine skroz uprošćene i da proverite da li u obe jednačine (ako su nepoznate x i y) imate prvo x sa svojim koeficijentom zatim y sa svojim koeficijentom i na kraju da imate = neki broj. Isti takav redosled vam treba i u drugoj jednačini. Dakle, sistem treba da vam izgleda ovako:

                                                             a₁x + b₁y = c₁                                                                                                                                       a₂x + b₂y = c₂                                                                         

I u ovoj metodi treba naći način da se u jednoj jednačini izgubi jedna nepoznata. To ovde postižemo pravljenjem suprotnih koeficijenata uz x ili uz y. Pokazaćemo na primeru sistema od prošlog puta:

       2x + 6y = 7               

                                                                     -4x + y = 3 
Za početak pogledajmo koeficijente koji stoje uz nepoznatu x: u prvoj jednačini je to 2, a u drugoj -4. NZS za 2 i 4 je 4, pa ako želim da napravim suprotne brojeve uz x, prvu jednačinu ću pomnožiti sa 2:

            2x + 6y = 7   /*2            

                                                                     -4x + y = 3 
i dobijam:                                                    4x + 12y = 14        

                                                                    -4x  +  y  = 3 
U prošloj lekciji smo pominjali načine na koje dobijamo ekvivalentne sisteme i jedan od načina je bio i sabiranje jednačina i zamena umesto jedne. Jednačine sabiram tako što saberem x-eve, saberem y-one i saberem brojeve sa desne strane što izgleda ovako:

4x + 12y = 14

 (4x + (-4x)) + (12y + y) = 14 + 3 

4x + 12y = 14

 13y = 17 

Ovde smo dobili ono što nam je trebalo, x se izgubio u drugoj jednačini iz koje sad možemo da nađemo y:

4x + 12y = 14

 y = 17/13 

4x = 14 - 12*17/13

 y = 17/13 

4x = -22/13

 y = 17/13 

x = -11/26

 y = 17/13 

pa je naše rešenje sistema uređeni par (x, y) = (-11/26; 17/13).

Vežbe radi, uradićemo sada isti primer samo pravljenjem suprotnih koeficijenata kod nepoznate y. (Naravno, moramo dobiti isto rešenje.)

2x + 6y = 7                 

 -4x + y = 3        /*(-6)

2x + 6y = 7            /

 24x - 6y = -18    /  +

2x + 6y = 7

 26x = -11 

2x + 6y = 7

 x = -11/26 

-22/26 + 6y = 7

 x = -11/26 

6y = 7 + 22/26

 x = -11/26 

6y = 102/13

 x = -11/26 

y = 17/13

 x = -11/26 

Ovako smo to uradili danas na času:

Uradićemo još dva primera iz vaše zbirke.

Domaći: vaša zbirka, strana 109. 2. đ), z), i).