Rešavanje sistema pogodnom metodom i primena

Zadaci koje ćemo raditi su iz vaše zbirke za završni ispit. U staroj su to srednjeg nivoa: 198.-200. (koji su već urađeni), 224, 225, 229, 231, 233 i naprednog nivoa: 346, 347, 369.-372, 374.-376.

224. Znamo kako se formira iznos računa u prodavnici i to je uvek "recept" za ovakve zadatke:

cena1(po kilogramu) * količina1 + cena2 * količina2 +....= iznos računa

Dakle, cenu svakog novog artikla koji smo uzeli množimo sa količinom i dodajemo na račun.

U našem zadatku ako cenu jednog kilograma jagoda označim sa j, i cenu kilograma trešanja označim slovom t, prvu rečenicu (podatak) matematički mogu da zapišem na sledeći način:

5j + 1,2t = 300

Zatim piše da je jagode platila (što znači sve jagode koje je kupila) 156 dinara što ćemo zapisati 5j = 156. I dobijamo sistem:

5j + 1,2t = 300

 5j = 156 

S obzirom da se traži cena kilograma trešanja, naše t, ovaj sistem možemo najlakše rešiti metodom zamene i to tako što ćemo svih 5j iz prve jednačine da zamenimo sa 156:

156 + 1,2t = 300

 5j = 156 

1,2t = 300 - 156

j = 156/5

1,2t = 144

 j = 31,2 

t = 144/1,2 = 1440/12 = 120

 j = 31,2 

Kilogram trešanja košta 120 dinara (a jagoda 31,2).

Zadatak 225. smo uradili kad smo počeli priču o linearnoj funkciji ako se sećate pa ga iz tog razloga preskačemo a i  229. vam ostavljam da uradite sami, sličan je.

231. U ovom zadatku su nam nepoznate količine oraha utrošene za manju i veću tortu pa ćemo zato koristiti promenljive m i v da bude jednostavnije. Na početku kaže da je Milka imala kilogram oraha ali i da nije sve potrošila, ostalo je 300g, što znači da je ukupno potrošila 700 g i to ćemo zapisati kao m + v = 700. "Za veću tortu je bilo potrebno 2,5 puta više oraha nego za manju" ⇒ v = 2,5 ∙ m.

m + v = 700

 v = 2,5 ∙ m 

Sistem je sada jednostavan za rešavanje. Koju ćete metodu koristiti? Pošaljite mi rešenje.

233. uradite sami pa javite rešenje.

Prelazimo na napredni nivo i zadatak:

347. Da bismo mogli da odredimo cenu čaše specijalnog soka, moramo prvo da vidimo kako je Mira došla do cena za čašu soka Dobro jutro i Zovli tj. koliko ona naplaćuje 1 ml limunade a koliko 1 ml zove. Za to ćemo iskoristiti podatke iz tabele po principu formiranja iznosa računa u prodavnici na sledeći način:  ako nam je L cena 1 ml limunade a Z cena 1 ml zove, ona je ovako formirala cenu za sok Dobro jutro 150 ∙ L + 50 ∙ Z = 150 dinara. Isto to uradimo i za drugi sok i dobijamo sistem:

150 ∙ L + 50 ∙ Z = 150

 60 ∙ L + 140 ∙ Z = 180 

Da bismo pojednostavili brojeve u sistemu, smemo jednačine da delimo sa NZS za koeficijente u toj jednačini:

150 ∙ L + 50 ∙ Z = 150   /:50

 60 ∙ L + 140 ∙ Z = 180     /:20

3 ∙ L + Z = 3

 3 ∙ L + 7 ∙ Z = 9 

Ovde ću izabrati metodu suprotnih koeficijenata jer mi je zgodno što mi je koeficijent 3 uz L u obe jednačine, mada možete da radite i metodu zamene. Koju biste tada nepoznatu izrazili?

3 ∙ L + Z = 3  /∙(-1)

 3 ∙ L + 7 ∙ Z = 9 

-3 ∙ L - Z = -3      /

 3 ∙ L + 7 ∙ Z = 9    /  +  

-3 ∙ L - Z = -3

 6 ∙ Z = 6   /:6

Z = 1

-3 ∙ L - 1 = -3   /+1

Z = 1

-3 ∙ L  = -2   /: (-3)

Z = 1

L = 2/3

Dakle, 1 ml limunade košta 2/3 dinara, a 1 ml zove košta 1 dinar. Zato će Anin specijalni sok od 180 ml limunade i 20 ml zove koštati 180 ∙ 2/3 + 20 ∙ 1 = 120 + 20 = 140 dinara.

U zadatku broj 369. jedna jednačina će vam biti u obliku proporcije i ne trebalo da vam taj sistem zadaje muke pa ga rešite sami.

U zadatku 370. procente odmah zapišite kao razlomke ili decimalne, biće vam lakše. Setite se da ti oni zaista nisu strašni i nisu ništa drugo do drugačije zapisani razlomci.

371. U zadatku se govori o broju prodatih računara u novembru i decembru pa prikladno uzmimo da su nam nepoznate N i D zbog lakšeg snalaženja. Ukupno je prodato 765 računara: N + D = 765.

"U decembru je prodato 20% više od dvostruke vrednosti broja prodatih računara u novembru."

Dvostruka vrednost broja prodatih računara u novembru = 2N, to je lako. A ako kaže da je u decembru prodato 20% više od toga? Ako napišemo samo D = 20% ∙ 2N, to nije to jer onda to nije više, to je deo toga jer je 20% = 20/100 = 1/5. Setimo se kako smo računali kod poskupljenja novu, veću cenu: dodavali smo procente, tj. sabirali 100% + 20% = 120% pa bi zato bilo

D = 120% ∙ 2N i dobijamo sistem:

N + D = 765

 D = 120% ∙ 2N 

N + D = 765

 D = 1,2 ∙ 2N 

N + D = 765

  D = 2,4N 

Opet metoda zamene?

D = 2,4N

 N + 2,4N = 765 

D = 2,4N

 3,4N = 765 

D = 2,4N

N = 765 : 3,4 = 7650 : 34

N = 225

 D = 540 

Zadatke koje su nam ostali pokušajte sami. Ako ne bude išlo, rešićemo ih!