Sistem linearnih jednačina sa dve nepoznate

 Pogledajte video čas sa RTS-a koji se tiče naše današnje lekcije ako već niste ili odgledajte ponovo na ovom linku.

Šta smo naučili?

• Dve linearne jednačine sa dve nepoznate čine jedan sistem a₁x + b₁y = c₁                                                                                                                                    a₂x + b₂y = c₂ 
• Uređeni par (x₀, y₀) će biti rešenje sistema ako je taj uređeni par rešenje obe jednačine sistema.

Primetili ste i u video lekciji da se sistem podvlači i da se prilikom transformisanja jednačina sistema  (ovde je u pitanju bilo računanje i proveravanje rešenja sistema) uvek prvo piše jedna jednačina koja je na početku i bila prva pa posle nje druga i uvek posle druge podvuče da ne bi dolazilo do zabune i mešanja jednačina. Videćete u zbirci da koriste vitičastu zagradu, mi ćemo podvlačiti, jednostavnije je.

Malo objašnjenje:

Zašto mi sad pravimo sistem, to jest koristimo dve jednačine  i "pakujemo" ih u sistem?

Sećate se jednostavnih zadataka kao što je ovaj:

"Milan i Sofija imaju zajedno 48 bombona a Milan ima tri puta više bombona od Sofije. Koliko bombona ima svako od njih?"

Kako to rešavamo? Oba podatka zapišemo matematički, "iskombinujemo" ih i rešimo jednostavnu jednačinu.                         M + S = 48

                                                                   M = 3S           

Zamenimo umesto M u prvom podatku ono što nam kaže drugi podatak, i dobijemo 3S + S = 4S = 48

Dakle, S = 12, a M = 36.

Ovo je samo jedan primer gde koristimo sisteme (gde ste ih koristili a niste ni znali) i jedan od načina rešavanja o čemu ćemo kasnije. Dakle, jednačine predstavljaju neke podatke, saznanja o nepoznatima i potrebne su vam u ovom slučaju dve (jer imate dve nepoznate) da biste mogli da rešite problem.

Vratimo se na glavnu priču:

Kako je već rečeno, uređeni par je rešenje sistema ako je to zajedničko rešenje za obe jednačine, pa proverite koji od uređenih parova (1, 1/2), (-2, 3), (7/6, -11/5)  je rešenje sistema koji su vam zadati u primerima pod b) i v) u prvom zadatku sa strane 107.

Zamenite redom svaki od uređenih parova u obe jednačine i proverite tačnost jednakosti.

1./107.

b)  6x - 4y = 4

    -7x + 12y = -1 

v)  5x + 6y = 8

     3x - y = -9 

U lekciji ste još čuli i da se sistem koji ima jedno rešenje naziva saglasan, sistem koji ima beskonačno mnogo rešenja neodređen a onaj koji nema rešenja protivrečan sistem.

Kako ćemo to za sada određivati? Metodom koja se zove grafička metoda rešavanja sistema - crtanjem.
Tako što možemo svaku jednačinu iz sistema da pretvorimo u linearnu funkciju u eksplicitnom obliku i da nacrtamo njihove grafike u istom koordinatnom sistemu jer znamo da će rešenja te jedne jednačine biti sve tačke (uređeni parovi) koji se nalaze na tom grafiku. A pošto je rešenje sistema zajedničko rešenje za te dve jednačine koje su u sistemu, ono ćemo tražiti u preseku njihovih grafika.
Kako znamo da presek dve prave može biti tačka, prava ili prazan skup na taj način i dobijamo jedno rešenje, beskonačno mnogo rešenja ili nijedno rešenje (kada su grafici paralelni).

Da smo sada u učionici, pomogao bi nam naš pano na kojem imamo po primer svakog od ovih sistema, a sada u ovim uslovima, imamo sliku pa zapišite sisteme, pretvorite jednačine u funkcije u eksplicitnom obliku, nacrtajte grafike i zaista pokažite da je ovo jedan saglasan, jedan neodređen i poslednji je protivrečan (nemoguć) sistem.
Sistemi su sledeći (nacrtajte jedan po jedan):
-x + 3y = 4                                                    x + 2y = 1                                        3x + y = 4
4x - y = 6                                                     3x + 6y = 3                                         3x + y = -1