Dodatna nastava - sedmi razred

 Oblasti predviđene za svaki nivo takmičenja:

Koristan link sa teorijom i zadacima: klikni.

Zadaci za vežbu:

LIX - 1

1. U trouglu ABC je AB = AC i ugao BAC = 20⁰. Ako je na stranici AB data tačka D takva da je AD = BC, izračunaj meru ugla DCA.

2. Odredi najmanji prirodan broj x za koji je koren iz (5 korena iz x) prirodan broj.

3. Na jednom ostrvu 4/5 muškaraca je oženjeno dok je 2/3 žena udato. Koji udeo stanovništva ostrva nije u braku, ako je broj oženjenih muškaraca jednak broju udatih žena?

4. Nađi najmanji prirodan broj x za koji je koren iz (84 korena iz x) prirodan broj.

5. U Kvarogradu 1/3 automobila koji idu na benzin je pokvareno, dok je 2/5 automobila koji idu na dizel u kvaru. Koji udeo automobila u Kvarogradu nije pokvareno ako je broj pokvarenih automobila koji idu na dizel duplo veći od broja pokvarenih automobila koji idu na benzin?

6. U trouglu ABC je ugao BAC = 60⁰. Neka je tačka D središte stranice AB i E podnožje visine iz temena B na stranicu AC. Ako je AE = 1 cm i ako su trouglovi ABE i ACD podudarni, odredi obim trougla ABC.

Rešenja:

1. 10⁰

2. x = 25

3. 3/11

4. x = 441

5. 5/8

6. 6 cm

Rešenja:

10. O = 40 korena iz 5;  P = 500

11. P = 8 + 8 korena iz 3

12. P = 4*10/2 = 20;    O = 10 + 6 korena iz 5

Rešenja:

5. P = 9 korena iz 3

1. 5 - 3 korena iz 3 = koren iz 25 - koren iz 27

    2 korena iz 6 - 2 korena iz 7 = koren iz 24 - koren iz 28

    koren iz 25 > koren iz 24

    koren iz 27 < koren iz 28    -->    - koren iz 27 > - koren iz 28

                     zajedno sa                     koren iz 25 > koren iz 24      kada se saberu nejednakosti (jer se ne remeti poredak)   dobija se:      koren iz 25  - koren iz 27 >  koren iz 24  - koren iz 28

                                        tj.                     5 - 3 korena iz 3 > 2 korena iz 6 - 2 korena iz 7

2. 2,220242024... = 1/10 * (22 + 2024/9999)

3. AB = 24 cm

LIX - 2

1. Odredi sve prirodne brojeve p takve da su brojevi p + 1, p + 2 i p + 4 prosti.

2. Bez korišćenja kalkulatora dokaži nejednakost:

    koren iz (koren iz 2 + koren iz 8) > 2.

3. Dokaži da ne postoji prost broj p takav da su p² - 7 i p² + 6 takođe prosti brojevi različiti od p.

4. Bez korišćenja kalkulatora dokaži nejednakost:

        koren iz (3 korena iz 5 + 4 korena iz 2 - koren iz 10) > 3

5. Dat je pravougaonik ABCD, čije su stranice dužine AB = 8 i BC = 3. Neka su tačke E i F redom središta stranica AB i CD, i neka je tačka G presek pravih AF i DE. Odredi površinu četvorougla CEGF.

Rešenja:

1. p = 1

5. P = 9,125

Rešenja:

8. Prvi broj.

10. x₁ = - 4 korena iz 3,   x₂ = 4 korena iz 3

11. O = 30;  P = 27 korena iz 3

LVIII - 1

Rešenja

1. Kralj zaseda sa sedmoricom svojih savetnika za okruglim stolom na kojem su mesta pravilno raspoređena. Za jednog od savetnika, Zohrana, sumnja se da je izdajnik i zbog toga kralj žeči da sedi što je dalje moguće od njega. Na koliko načina se može napraviti raspored sedenja tako da kralj i Zohran sede maksimalno udaljeni jedan od drugog?

(720 načina)

2. Kralj zaseda sa dva svoja sina i petoricom savetnika za okruglim stolom na kojem su mesta pravilno raspoređena. Na koliko načina je moguće napraviti raspored sedenja tako da kralj sedi između svoja dva sina?

(240 načina)

3. Dokaži da je koren iz (koren iz (koren iz 2 + koren iz 5) + 2) < 2.

LVIII - 2

1. Grupa od 9 dečaka želi da se podeli u 3 tima od po troje ljudi. Marko i Ivan hoće da budu u istom timu, ali ne žele da Nenad bude sa njima. Na koliko načina dečaci mogu da se podele u 3 tima?

(60)

2. Da li je tačna jednakost koren iz (1+koren iz 3 / 2) - koren iz 3 / 2 = 1/2 ? 

(Jeste.)

3. Grupa od devet dečaka želi da se podeli u tri ekipe od po troje ljudi. Među njima, Mika i Pera žele da budu u odvojenim timovima, dok Žika želi da bude sa jednim od njih dvojice. Na koliko načina se oni mogu podeliti u ekipe?

4. Da li je 1/(3 - koren iz 5) + koren iz 5/ (1 + koren iz 5) racionalan ili iracionalan broj?

5. U trapezu ABCD čije su osnovice AB i CD simetrale unutrašnjih uglova kod temena A i B seku se na srednjoj liniji trapeza. Dokazati da je AB + CD = AD + BC.