Površina kupe - vežbe
15./127. Jednakokraki trougao osnovice 14 cm i kraka 12 cm, rotira oko svoje ose. Odredi površinu tako nastalog tela.
Ovaj jednakokraki trougao je osni presek kupe. Osnovica je 2r = 14 cm ⇒ r = 7 cm, krak je izvodnica s = 12 cm.
P = B + M
P = r²𝜋 + rs𝜋
P = 7²𝜋 + 7 ∙ 12 ∙ 𝜋
P = 49𝜋 + 84𝜋
P = 133𝜋 cm²
U narednom zadatku ćemo da se pozabavimo poprečnim presecima kupe i da se podsetimo sličnosti trouglova.
11./125. Kupu (H = 20 cm, r = 4 cm) seče ravan koja je paralelna osnovi. Odredi površinu preseka ravni i kupe ako je rastojanje vrha kupe od te ravni 15 cm.
Nacrtaćemo sliku koja odgovara zadatku pa ćemo da vidimo šta možemo da uradimo.
Kad smo presekli našu kupu sa ravni koja je paralelna sa osnovom, dobili smo još jednu manju kupu sa poluprečnikom r1, izvodnicom s1 i visinom H1. Nama se traži površina poprečnog preseka, odnosno površina osnove manje kupe, B1, za koju treba da izračunamo prvo poluprečnik. Ako pogledamo sliku, videćemo trouglove koji su polovine naših osnih preseka kupa: ΔOAS od velike kupe i ΔO₁BS od male kupe. Ovi trouglovi su slični zbog paralelnosti stranica koje uzrokuju onda i jednake odgovarajuće uglove. Iz sličnosti možemo da zapišemo odnose odgovarajućih stranica:
r : r1 = H : H1 = s : s1
što će nam pomoći da odredimo sve dužine bitnih duži pa onda i traženu površinu.
4 : r1 = 20 : 15 = s : s1
Izvodnice trenutno možemo zanemariti, a primetimo da je rastojanje vrha kupe od poprečnog preseka u stvari visina H1.
20 ∙ r1 = 4 ∙ 15
r1 = 60 : 20 = 3
B1 = r1²𝜋 = 9𝜋 cm²
18./126. H = 6√2 cm, B1 =B/4, H1 =?
r1²𝜋 = r²𝜋/4 ⇒ r1² = r²/4 Iz odnosa kvadrata poluprečnika, možemo odrediti odnos poluprečnika jednostavnim korenovanjem:
r1² = r²/4 / :r²
r1² : r² = 1 : 4 /√
r1 : r = 1 : 2 ⇒ H1 : H = 1 : 2
2 ∙ H1 = H
2 ∙ H1 = 6√2 /: 2
H1 = 3√2
Domaći zadatak (slični zadaci): 12./125. strane, 19./126. strane. i 16./127.
Comments
Post a Comment